Resolva a equação exponencial: $4^{7x-2} \cdot 16^{3x-1} = 16^{8x+4}$

Para resolver a equação $4^{7x-2} \cdot 16^{3x-1} = 16^{8x+4}$, começamos reescrevendo as potências de 4 e 16 na mesma base. Sabemos que $4 = 2^2$ e $16 = 2^4$. Assim, podemos reescrever a equação como:

$(2^2)^{7x-2} \cdot (2^4)^{3x-1} = (2^4)^{8x+4}$

Aplicando a propriedade das potências, temos:

$2^{2(7x-2)} \cdot 2^{4(3x-1)} = 2^{4(8x+4)}$

Simplificando, obtemos:

$2^{14x-4} \cdot 2^{12x-4} = 2^{32x+16}$

Somando os expoentes do lado esquerdo, temos:

$2^{(14x-4) + (12x-4)} = 2^{32x+16}$

$2^{26x-8} = 2^{32x+16}$

Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:

$26x - 8 = 32x + 16$

Resolvendo para $x$, temos:

$26x - 32x = 16 + 8$

$-6x = 24$

$x = -\frac{24}{6}$

$x = -\frac{1}{2}$