(UFPI) Seja $\alpha$ um número real satisfazendo $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ e $e^{\frac{tg\,x}{2}} = \sqrt{2}$. É correto afirmar que:

A) $\cos \alpha + \sen \alpha = \frac{1 - 2\sqrt{2}}{3}$ B) $\sec \alpha = 3$ C) $\csc \alpha$ é um número racional D) $\sen \alpha = 1$ E) $\sen \alpha \cdot \cos \alpha = 1$

Dado que $e^{\frac{\tan x}{2}} = \sqrt{2}$, podemos deduzir que $\frac{\tan x}{2} = \ln(\sqrt{2})$. Assim, $\tan x = 2\ln(\sqrt{2}) = \ln(2)$. Sabendo que $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, podemos usar a identidade $\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$ e a relação $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Com $\tan \alpha = \ln(2)$, podemos encontrar que $\sec \alpha = 3$. As outras opções não satisfazem as condições dadas.