Suponha que o desvio padrão da vida útil de um determinado produto alimentício é conhecido e é igual a 500 horas, mas que a média da vida útil é desconhecida. Supõe-se que a vida útil do produto tem distribuição normal. Para uma amostra de 𝑛 = 15, a média é 8900 horas de operação. Construa um intervalo de confiança de 90% para estimar a média da população.

Para construir um intervalo de confiança para a média da população com desvio padrão conhecido, utilizamos a distribuição normal padrão. A fórmula para o intervalo de confiança é:

$\bar{x} \pm z \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Onde:

• $\bar{x}$ é a média amostral (8900 horas)
• $z$ é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado (90%), que é 1.645
• $\sigma$ é o desvio padrão populacional (500 horas)
• $n$ é o tamanho da amostra (15)

Substituindo os valores na fórmula, temos:

$8900 \pm 1.645 \left(\frac{500}{\sqrt{15}}\right)$

Calculando a margem de erro:

$1.645 \times \frac{500}{\sqrt{15}} \approx 212.47$

Assim, o intervalo de confiança é:

$8900 \pm 212.47$

O que resulta em um intervalo de confiança de 8687.53 a 9112.47 horas.