Seja $r$ a raiz cúbica de um número real $x$. Encontre a taxa de variação de $r$ em relação a $x$ quando $x$ for igual a 8.

Para encontrar a taxa de variação de $r$ em relação a $x$, precisamos calcular a derivada de $r$ em relação a $x$. Sabemos que $r = x^{1/3}$. A derivada de $r$ em relação a $x$ é dada por:

$\frac{dr}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{1/3}) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$

Agora, substituímos $x = 8$ na derivada:

$\frac{dr}{dx}\bigg|_{x=8} = \frac{1}{3}(8)^{-2/3}$

Calculando $(8)^{-2/3}$:

$(8)^{-2/3} = \left(\frac{1}{8}\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Portanto, a taxa de variação é:

$\frac{dr}{dx}\bigg|_{x=8} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$