Temos a sequência definida por:

$a_1 = 1$, e $a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + n a_n}$

Nosso objetivo é calcular $a_{2011}$.

Para resolver essa questão, precisamos analisar a sequência dada:

1. Começamos com $a_1 = 1$.
2. A fórmula de recorrência é $a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + n a_n}$.

Vamos calcular os primeiros termos para identificar um padrão:

• Para $n = 1$: $a_2 = \frac{a_1}{1 + 1 \cdot a_1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.
• Para $n = 2$: $a_3 = \frac{a_2}{1 + 2 \cdot a_2} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$.
• Para $n = 3$: $a_4 = \frac{a_3}{1 + 3 \cdot a_3} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + 3 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}} = \frac{1}{7}$.

Podemos observar que o padrão é $a_n = \frac{1}{n}$.

Portanto, para $n = 2010$, temos: $a_{2011} = \frac{1}{2011}$.

No entanto, ao observarmos o padrão, notamos que a sequência converge rapidamente para zero à medida que $n$ aumenta. Assim, para um valor tão grande como 2011, podemos considerar que $a_{2011}$ é praticamente zero.