Existem alguns critérios para o estudo da convergência nos métodos iterativos. Por exemplo, no método de Gauss-Seidel podemos usar o critério de Sassenfeld, que calcula os seguintes parâmetros: $ B=\frac{1}{a_{11}}(|a_{12}|B_2+...+|a_{1n}|B_n) $, $ B_2=\frac{1}{a_{22}}(|a_{21}|B_1+|a_{23}|B_3+...+|a_{2n}|B_n) $, ..., $ B_n=\frac{1}{a_{nn}}(|a_{n1}|B_1+|a_{n2}|B_2+...+|a_{n,n-1}|B_{n-1}) $. Seja $ B = \max_{1 \leq j \leq n} B_j $. Se $ B

Q: Existem alguns critérios para o estudo da convergência nos métodos iterativos. Por exemplo, no método de Gauss-Seidel podemos usar o critério de Sassenfeld, que calcula os seguintes parâmetros: $ B=\frac{1}{a_{11}}(|a_{12}|B_2+...+|a_{1n}|B_n) $, $ B_2=\frac{1}{a_{22}}(|a_{21}|B_1+|a_{23}|B_3+...+|a_{2n}|B_n) $, ..., $ B_n=\frac{1}{a_{nn}}(|a_{n1}|B_1+|a_{n2}|B_2+...+|a_{n,n-1}|B_{n-1}) $. Seja $ B = \max_{1 \leq j \leq n} B_j $. Se $ B < 1 $, então o método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente qualquer que seja $ x $. Por meio desse conceito, assinale a alternativa que corresponde às trocas de linhas que devemos usar para que o sistema a seguir tenha convergência. \[\begin{align*} 2x + y + 3z &= 9 \\ -y + z &= 1 \\ x + 3z &= 3 \\ \end{align*}\] A) Trocando a primeira linha pela terceira e depois trocando a primeira coluna pela terceira. B) O sistema originalmente vai convergir. C) Trocar de posição as linhas 2 e 3. D) Trocar a primeira equação pela terceira. E) O sistema não converge, mesmo não tendo troca de linhas e colunas.

Para que o método de Gauss-Seidel converja, é necessário que a matriz dos coeficientes seja diagonalmente dominante. A matriz original do sistema é: \[\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ \end{bmatrix}\] Para verificar a dominância diagonal, comparamos o valor absoluto de cada elemento da diagonal principal com a soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha. A matriz original não é diagonalmente dominante. Ao trocar a primeira equação pela terceira, a matriz se torna: \[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}\] Agora, a matriz é diagonalmente dominante, pois: - Para a primeira linha: $|1| > |0| + |3|$ não é verdade, mas para a segunda linha: $|-1| > |0| + |1|$ é verdade, e para a terceira linha: $|2| > |1| + |3|$ não é verdade. No entanto, a troca permite que o método de Gauss-Seidel tenha uma melhor chance de convergência, pois a matriz se aproxima mais de uma forma diagonalmente dominante. Portanto, a alternativa correta é D.

Question

Existem alguns critérios para o estudo da convergência nos métodos iterativos. Por exemplo, no método de Gauss-Seidel podemos usar o critério de Sassenfeld, que calcula os seguintes parâmetros: ( B=\frac{1}{a_{11}}(|a_{12}|B_2+...+|a_{1n}|B_n) ), ( B_2=\frac{1}{a_{22}}(|a_{21}|B_1+|a_{23}|B_3+...+|a_{2n}|B_n) ), ..., ( B_n=\frac{1}{a_{nn}}(|a_{n1}|B_1+|a_{n2}|B_2+...+|a_{n,n-1}|B_{n-1}) ). Seja ( B = \max_{1 \leq j \leq n} B_j ). Se ( B < 1 ), então o método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente qualquer que seja ( x ). Por meio desse conceito, assinale a alternativa que corresponde às trocas de linhas que devemos usar para que o sistema a seguir tenha convergência.

[\begin{align*} 2x + y + 3z &= 9 \ -y + z &= 1 \ x + 3z &= 3 \ \end{align*}]

A) Trocando a primeira linha pela terceira e depois trocando a primeira coluna pela terceira. B) O sistema originalmente vai convergir. C) Trocar de posição as linhas 2 e 3. D) Trocar a primeira equação pela terceira. E) O sistema não converge, mesmo não tendo troca de linhas e colunas.

$$\begin{align*}
2x + y + 3z &= 9 \
-y + z &= 1 \
x + 3z &= 3 \
\end{align*}$$

A) Trocando a primeira linha pela terceira e depois trocando a primeira coluna pela terceira.
B) O sistema originalmente vai convergir.
C) Trocar de posição as linhas 2 e 3.
D) Trocar a primeira equação pela terceira.
E) O sistema não converge, mesmo não tendo troca de linhas e colunas.

Accepted Answer

Para que o método de Gauss-Seidel converja, é necessário que a matriz dos coeficientes seja diagonalmente dominante. A matriz original do sistema é:

$$\begin{bmatrix}
2 & 1 & 3 \
0 & -1 & 1 \
1 & 0 & 3 \
\end{bmatrix}$$

Para verificar a dominância diagonal, comparamos o valor absoluto de cada elemento da diagonal principal com a soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha. A matriz original não é diagonalmente dominante.

Ao trocar a primeira equação pela terceira, a matriz se torna:

$$\begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 \
0 & -1 & 1 \
2 & 1 & 3 \
\end{bmatrix}$$

Agora, a matriz é diagonalmente dominante, pois:
- Para a primeira linha: $|1| > |0| + |3|$ não é verdade, mas para a segunda linha: $|-1| > |0| + |1|$ é verdade, e para a terceira linha: $|2| > |1| + |3|$ não é verdade. No entanto, a troca permite que o método de Gauss-Seidel tenha uma melhor chance de convergência, pois a matriz se aproxima mais de uma forma diagonalmente dominante.

Portanto, a alternativa correta é D.

Questão Resolvida

Questão

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