Um ponto encontra-se em repouso, e sobre ele agem 3 forças, duas das quais conhecidas, a saber: ( F_1 = 30 \text{ N}, \theta_1 = 30^\circ ) e ( F_2 = 50 \text{ N}, \theta_2 = 135^\circ ). Determine o módulo, a direção e o sentido da terceira força ( F_3 ), expressando-a em coordenadas polares.

Para que o ponto esteja em repouso, a soma vetorial das forças deve ser zero. Assim, a força ( F_3 ) deve ser igual e oposta à soma das forças ( F_1 ) e ( F_2 ).

Primeiro, decompomos ( F_1 ) e ( F_2 ) em suas componentes ( x ) e ( y ):

• ( F_{1x} = F_1 \cos(30^\circ) = 30 \cos(30^\circ) = 25.98 \text{ N} )

• ( F_{1y} = F_1 \sin(30^\circ) = 30 \sin(30^\circ) = 15 \text{ N} )

• ( F_{2x} = F_2 \cos(135^\circ) = 50 \cos(135^\circ) = -35.36 \text{ N} )

• ( F_{2y} = F_2 \sin(135^\circ) = 50 \sin(135^\circ) = 35.36 \text{ N} )

Somamos as componentes ( x ) e ( y ):

• ( F_{x} = F_{1x} + F_{2x} = 25.98 - 35.36 = -9.38 \text{ N} )
• ( F_{y} = F_{1y} + F_{2y} = 15 + 35.36 = 50.36 \text{ N} )

A força ( F_3 ) deve ter componentes opostas:

• ( F_{3x} = -F_{x} = 9.38 \text{ N} )
• ( F_{3y} = -F_{y} = -50.36 \text{ N} )

Calculamos o módulo de ( F_3 ):

$F_3 = \sqrt{F_{3x}^2 + F_{3y}^2} = \sqrt{9.38^2 + (-50.36)^2} = 57.36 \text{ N}$

A direção ( \theta_3 ) é dada por:

$\theta_3 = \tan^{-1}\left(\frac{F_{3y}}{F_{3x}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-50.36}{9.38}\right) \approx -75^\circ$

Como estamos no terceiro quadrante, adicionamos 180°:

$\theta_3 = 180^\circ + (-75^\circ) = 255^\circ$