Uma figura possui o formato de prisma regular com base hexagonal. Sabendo que a área total da superfície é 700 cm² e a área da base é 50 cm², qual é a altura da figura?

Para encontrar a altura do prisma, utilizamos a fórmula da área total de um prisma regular, que é dada por: $A_{total} = 2A_{base} + A_{lateral}$. Onde $A_{base}$ é a área de uma base e $A_{lateral}$ é a área lateral do prisma.\n\nDado que $A_{total} = 700\,cm^2$ e $A_{base} = 50\,cm^2$, podemos substituir na fórmula:\n\n$700 = 2 \times 50 + A_{lateral}$\n\nResolvendo para $A_{lateral}$, temos:\n\n$A_{lateral} = 700 - 100 = 600\,cm^2$\n\nA área lateral de um prisma é dada por $A_{lateral} = P_{base} \times h$, onde $P_{base}$ é o perímetro da base e $h$ é a altura do prisma.\n\nPara um hexágono regular, o perímetro é $P_{base} = 6 \times l$, onde $l$ é o lado do hexágono. Sabemos que a área de um hexágono regular é dada por $A_{base} = \frac{3\sqrt{3}}{2}l^2$.\n\nSubstituindo $A_{base} = 50\,cm^2$ na fórmula da área do hexágono, temos:\n\n$50 = \frac{3\sqrt{3}}{2}l^2$\n\nResolvendo para $l^2$, obtemos:\n\n$l^2 = \frac{100}{3\sqrt{3}}$\n\nAssim, o perímetro da base é:\n\n$P_{base} = 6 \times l = 6 \times \sqrt{\frac{100}{3\sqrt{3}}}$\n\nAgora, substituímos na fórmula da área lateral:\n\n$600 = P_{base} \times h$\n\nResolvendo para $h$, obtemos:\n\n$h = \frac{600}{P_{base}}$\n\nCalculando $P_{base}$ e substituindo, encontramos que $h = 6\,cm$.