Uma tripla de números $(a, b, c)$ é interessante quando $\text{mdc}(a, b) > 1$, $\text{mdc}(a, c) > 1$, $\text{mdc}(b, c) > 1$ e $\text{mdc}(a, b, c) = 1$. Sorteamos ao acaso três divisores positivos $a, b, c$ (não necessariamente distintos) de $309$. Qual é a probabilidade de $(a, b, c)$ ser interessante?

Para resolver essa questão, primeiro precisamos determinar os divisores de $309$. O número $309$ pode ser fatorado como $309 = 3^1 \times 103^1$. Portanto, os divisores de $309$ são $1, 3, 103, 309$.

Precisamos calcular a probabilidade de que uma tripla $(a, b, c)$ de divisores de $309$ seja interessante. Uma tripla é interessante se $\text{mdc}(a, b) > 1$, $\text{mdc}(a, c) > 1$, $\text{mdc}(b, c) > 1$ e $\text{mdc}(a, b, c) = 1$.

Para que $\text{mdc}(a, b) > 1$, $a$ e $b$ devem compartilhar pelo menos um fator primo. O mesmo vale para as outras condições. No entanto, para que $\text{mdc}(a, b, c) = 1$, $a$, $b$, e $c$ não podem compartilhar um fator primo comum.

Os divisores de $309$ são $1, 3, 103, 309$. As triplas $(a, b, c)$ que satisfazem as condições são aquelas onde cada par de números compartilha um fator primo, mas os três juntos não compartilham um fator primo comum.

Ao analisar as combinações possíveis, verificamos que a única configuração que atende a todas as condições é quando cada número é um divisor diferente que não seja $1$. Assim, a probabilidade de escolhermos uma tripla interessante é $\frac{1}{4}$, pois há uma única configuração interessante entre as quatro possíveis.