Usando o algoritmo da divisão, mostre que:

(a) Se $n$ é um quadrado, então $n$ é da forma $4k$ ou $4k+1$ para algum inteiro $k$.

Seja $n = m^2$ um quadrado perfeito. Pelo algoritmo da divisão, qualquer número inteiro $m$ pode ser escrito na forma $m = 4q + r$, onde $q$ é o quociente e $r$ é o resto, com $r \in \{0, 1, 2, 3\}$. Vamos analisar cada caso:

1. Se $r = 0$, então $m = 4q$ e $m^2 = (4q)^2 = 16q^2 = 4(4q^2)$, que é da forma $4k$.
2. Se $r = 1$, então $m = 4q + 1$ e $m^2 = (4q + 1)^2 = 16q^2 + 8q + 1 = 4(4q^2 + 2q) + 1$, que é da forma $4k + 1$.
3. Se $r = 2$, então $m = 4q + 2$ e $m^2 = (4q + 2)^2 = 16q^2 + 16q + 4 = 4(4q^2 + 4q + 1)$, que é da forma $4k$.
4. Se $r = 3$, então $m = 4q + 3$ e $m^2 = (4q + 3)^2 = 16q^2 + 24q + 9 = 4(4q^2 + 6q + 2) + 1$, que é da forma $4k + 1$.

Portanto, em todos os casos, $n = m^2$ é da forma $4k$ ou $4k + 1$.