Calcule um valor aproximado para a seguinte raiz, usando diferenciais:

$\sqrt[3]{63,5}$

A) 9,0111 B) 0 C) 3,9895 D) 7,000 E) 24

Para calcular uma aproximação de $\sqrt[3]{63,5}$ usando diferenciais, podemos usar a fórmula do diferencial para a função $f(x) = x^{1/3}$.

O diferencial é dado por:

$df = \frac{1}{3}x^{-2/3}dx$

Escolhemos um valor próximo de 63,5 que seja fácil de calcular. Um bom candidato é 64, pois $\sqrt[3]{64} = 4$.

Assim, temos:

• $x = 64$
• $dx = 63,5 - 64 = -0,5$

Calculamos o diferencial:

$df = \frac{1}{3} \cdot 64^{-2/3} \cdot (-0,5)$

Sabemos que $64^{-2/3} = \frac{1}{16}$, então:

$df = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{16} \cdot (-0,5) = -\frac{1}{96}$

Portanto, a aproximação é:

$\sqrt[3]{63,5} \approx 4 + df = 4 - \frac{1}{96} \approx 3,9895$

Assim, a resposta correta é C) 3,9895.