Questão:

Considere a função $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$. Qual é o valor da integral definida de $f(x)$ de 0 a 1?

A) $\frac{\pi}{4}$ B) $\frac{1}{2}$ C) $\frac{1}{3}$ D) $\frac{\pi}{2}$ E) $\frac{1}{4}$

Para resolver a integral definida de $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ de 0 a 1, reconhecemos que a integral de $\frac{1}{x^2 + 1}$ é uma forma conhecida que resulta em $\arctan(x)$. Assim, a integral definida de 0 a 1 é:

$\int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \left[ \arctan(x) \right]_0^1 = \arctan(1) - \arctan(0)$

Sabemos que $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ e $\arctan(0) = 0$. Portanto, o valor da integral é $\frac{\pi}{4}$. A resposta correta é a alternativa A.