Questão:

Considere a função $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$. Determine o valor de $x$ para o qual a derivada da função é igual a zero.

Alternativas:

A) $x = 0$ B) $x = 1$ C) $x = 2$ D) $x = 3$ E) $x = -1$

Para encontrar o valor de $x$ onde a derivada da função é igual a zero, primeiro calculamos a derivada de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$. A derivada é $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$.

Agora, igualamos a derivada a zero:

$3x^2 - 6x + 2 = 0$

Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara, temos:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Substituindo $a = 3$, $b = -6$, $c = 2$, obtemos:

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{6}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6}$

$x = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6}$

Simplificando, temos duas soluções:

$x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ e $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

A solução que corresponde a uma das alternativas é $x = 1$. Portanto, a resposta correta é a alternativa B.