Questão:

Considere a função $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$. Qual é o valor da integral definida de $f(x)$ de $x = 0$ a $x = 1$?

A) $\frac{\pi}{4}$ B) $\frac{1}{2}$ C) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D) $\frac{1}{4}$ E) $\frac{1}{3}$

Para resolver a integral definida de $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ de $x = 0$ a $x = 1$, reconhecemos que a integral de $\frac{1}{x^2 + 1}$ é uma função conhecida, que é a arctangente. Assim, temos:

$\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan(x) + C$

Calculando a integral definida de $x = 0$ a $x = 1$:

$\left[ \arctan(x) \right]_0^1 = \arctan(1) - \arctan(0)$

Sabemos que $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ e $\arctan(0) = 0$. Portanto:

$\arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

Assim, a resposta correta é a alternativa A.