Questão:

Considere a função $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$. Qual é o valor da integral definida de $f(x)$ de $0$ a $1$?

A) $\frac{\pi}{4}$ B) $\frac{1}{2}$ C) $\frac{\pi}{2}$ D) $\frac{1}{4}$ E) $1$

Para resolver a integral definida de $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ de $0$ a $1$, reconhecemos que a integral de $\frac{1}{x^2 + 1}$ é uma forma padrão que resulta em $\arctan(x)$. Assim, a integral definida de $0$ a $1$ é:

$\int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \left[ \arctan(x) \right]_0^1 = \arctan(1) - \arctan(0)$

Sabemos que $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ e $\arctan(0) = 0$. Portanto, o valor da integral é $\frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.

Portanto, a alternativa correta é A) $\frac{\pi}{4}$.