Questão
- Em cada caso, responda verdadeiro se o enunciado é sempre verdadeiro e responda falso, caso contrário. No caso de um enunciado verdadeiro, explique ou demonstre sua resposta. No caso de um enunciado falso, dê um exemplo para mostrar que o enunciado nem sempre é verdadeiro.
(a) Se L: V → V é um operador linear e x ∈ ker(L), então L(v + x) = L(v) para todo v ∈ V. (b) Se L é um operador linear representando um espaço vetorial V em um espaço vetorial W, então L(v - v) = L(v). (c) Se L é uma transformação linear de V em W, então Im(L) é um subespaço de V. (d) Uma transformação linear D definida por D(p) = p' pode ser definida de P2(R) em P3(R). (e) Uma dilatação é uma transformação linear l(x) = ax, onde a > 0. (f) Uma aplicação T : Rn → Rm é sobrejetora se, e somente se, cada vetor x ∈ Rn é transformado em um único vetor do Rm.
A) Verdadeiro B) Falso C) Falso D) Verdadeiro E) Verdadeiro F) Falso
(a) Verdadeiro: Se x está no núcleo de L, então L(x) = 0. Portanto, L(v + x) = L(v) + L(x) = L(v) + 0 = L(v). (b) Falso: L(v - v) = L(0) = 0, não L(v). (c) Falso: Im(L) é um subespaço de W, não de V. (d) Verdadeiro: A derivada de um polinômio de grau 2 é um polinômio de grau 1, que está em P3(R). (e) Verdadeiro: Uma dilatação é uma transformação linear, pois preserva a adição e a multiplicação por escalar. (f) Falso: A definição dada é de uma função injetora, não sobrejetora.