Considere o conjunto dos números inteiros. Define-se uma relação R da seguinte forma: a R b se, e somente se, $(a^2 - b^2)$ é um múltiplo de 5. Esta relação é uma relação de equivalência, que particiona o conjunto dos inteiros em classes de equivalência. Quantas classes de equivalência distintas são geradas por esta relação no conjunto dos inteiros?

A condição $a\,R\,b$ é que $a^2-b^2$ seja múltiplo de 5, isto é, [ a^2 \equiv b^2 \pmod{5}. ] Logo, dois inteiros são equivalentes quando seus quadrados têm o mesmo resto na divisão por 5.

Basta então listar os possíveis valores de $n^2 \pmod{5}$ para $n$ inteiro. Como basta testar os resíduos $0,1,2,3,4$:

• $0^2 \equiv 0 \pmod{5}$
• $1^2 \equiv 1 \pmod{5}$
• $2^2 \equiv 4 \pmod{5}$
• $3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$
• $4^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}$

Assim, os únicos resíduos quadráticos módulo 5 são $\{0,1,4\}$, ou seja, existem 3 possíveis valores para $a^2 \pmod{5}$. Cada valor determina uma classe de equivalência:

1. $a^2 \equiv 0 \pmod{5}$ (equivale a $a \equiv 0 \pmod{5}$)
2. $a^2 \equiv 1 \pmod{5}$ (equivale a $a \equiv \pm 1 \pmod{5}$, isto é, $a \equiv 1$ ou $4$)
3. $a^2 \equiv 4 \pmod{5}$ (equivale a $a \equiv \pm 2 \pmod{5}$, isto é, $a \equiv 2$ ou $3$)

Portanto, a relação gera exatamente 3 classes de equivalência distintas.