Uma distribuição de cargas, na forma de um triângulo equilátero, contém uma carga em cada um de seus vértices. Considere que o sistema de cargas esteja no vácuo, que a constante eletrostática vale k = 9×10⁹ N·m²/C² e que a aresta do triângulo tem 1 m de comprimento. Com base nessas informações, responda: a) Para Q₁ = +1 nC e Q₂ = +5 nC, determine Q₃ (módulo e sinal) para que a componente vertical (ou seja, perpendicular à linha que une Q₁ e Q₂) do campo elétrico resultante seja nula no centro do triângulo. Dado: sen 30° = cos 60° = 0,5. b) Considerando agora que as três cargas sejam todas iguais a +1 nC (1 nC = 10⁻⁹ C), obtenha o valor do potencial elétrico no centro do triângulo.

a) Como o triângulo é equilátero, o centro está à mesma distância de todos os vértices. No centro, o campo elétrico devido a cada carga aponta ao longo da reta que liga o vértice ao centro.

Sejam $Q_1$ e $Q_2$ nos vértices da base (reta $Q_1Q_2$ horizontal) e $Q_3$ no vértice superior. Pela simetria, as componentes verticais (perpendiculares a $Q_1Q_2$) dos campos de $Q_1$ e $Q_2$ no centro têm o mesmo sentido (para cima se as cargas forem positivas) e se somam; já o campo de $Q_3$ é puramente vertical (para baixo se $Q_3>0$, para cima se $Q_3<0$).

A distância do centro a qualquer vértice é o raio da circunferência circunscrita: $R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\,\text{m}.$

Módulo do campo devido a uma carga $Q$ no centro: $E=\frac{k|Q|}{R^2}=\frac{k|Q|}{(1/3)}=3k|Q|.$

Para $Q_1$ e $Q_2$, o ângulo entre a direção do campo e a horizontal é $30^\circ$ (pois a reta vértice–centro faz $30^\circ$ com a base), então a componente vertical é: $E_y = E\sin 30^\circ = (3k|Q|)\cdot 0{,}5 = 1{,}5k|Q|.$

Logo, a componente vertical total de $Q_1$ e $Q_2$ é (tomando “para cima” positivo): $E_{y,12}=1{,}5k(Q_1+Q_2).$

Já para $Q_3$ (vértice superior), o campo no centro é vertical. Para anular $E_{y,12}$, ele deve apontar para baixo, portanto $Q_3$ deve ser positivo. Seu módulo vertical é: $E_{y,3}= -\frac{kQ_3}{R^2} = -3kQ_3.$

Condição $E_{y,\text{result}}=0$: $1{,}5k(Q_1+Q_2)-3kQ_3=0\;\Rightarrow\; Q_3=\frac{1{,}5}{3}(Q_1+Q_2)=\frac{1}{2}(Q_1+Q_2).$

Com $Q_1=+1\,\text{nC}$ e $Q_2=+5\,\text{nC}$: $Q_3=\frac{1}{2}(1+5)\,\text{nC}=3\,\text{nC}.$

Resposta (a): $Q_3=+3\,\text{nC}$.

b) Potencial elétrico no centro: O potencial é escalar e soma diretamente: $V=\sum \frac{kQ}{R} = 3\cdot \frac{kQ}{R}.$

Com $Q=+1\,\text{nC}=10^{-9}\,\text{C}$ e $R=\frac{1}{\sqrt{3}}$: $V=3\cdot \frac{k\,10^{-9}}{1/\sqrt{3}}=3k\,10^{-9}\sqrt{3}.$

Usando $k=9\times 10^9$: $V=3\cdot (9\times 10^9)\cdot 10^{-9}\sqrt{3}=27\sqrt{3}\,\text{V}.$

Numericamente, $\sqrt{3}\approx 1{,}732$: $V\approx 27\cdot 1{,}732 \approx 46{,}8\,\text{V}.$

Resposta (b): $V=27\sqrt{3}\,\text{V}\approx 46{,}8\,\text{V}$.