Uma espaçonave viaja numa trajetória retilínea da Terra à Lua. Em que posição, medida a partir da Terra, a força gravitacional resultante da interação com a Terra e com a Lua sobre a nave é nula? Dados: massa da Terra = 6,0×10^24 kg; massa da Lua = 7,36×10^22 kg; distância Terra–Lua = 3,84×10^5 km.

Considere o ponto entre a Terra e a Lua onde as forças gravitacionais (em sentidos opostos) têm mesmo módulo.

Seja:

• $d=3{,}84\times 10^5\ \text{km}$ a distância Terra–Lua;
• $x$ a distância do ponto até a Terra;
• então a distância até a Lua é $d-x$.

Módulos das forças gravitacionais na nave:

$$F_T = G\,\frac{M_T m}{x^2},\qquad F_L = G\,\frac{M_L m}{(d-x)^2}.$$

No ponto de anulação, $F_T=F_L$:

$$G\frac{M_T m}{x^2}=G\frac{M_L m}{(d-x)^2} \Rightarrow \frac{M_T}{x^2}=\frac{M_L}{(d-x)^2}.$$

Tirando a raiz:

$$\frac{\sqrt{M_T}}{x}=\frac{\sqrt{M_L}}{d-x} \Rightarrow \sqrt{M_T}(d-x)=\sqrt{M_L}\,x.$$

Isolando $x$:

$$\sqrt{M_T}\,d = x(\sqrt{M_T}+\sqrt{M_L}) \Rightarrow x=\frac{\sqrt{M_T}}{\sqrt{M_T}+\sqrt{M_L}}\,d.$$

Com $M_T=6{,}0\times 10^{24}$ e $M_L=7{,}36\times 10^{22}$:

$$\frac{\sqrt{M_L}}{\sqrt{M_T}}=\sqrt{\frac{M_L}{M_T}}=\sqrt{\frac{7{,}36\times 10^{22}}{6{,}0\times 10^{24}}} =\sqrt{1{,}226\times 10^{-2}}\approx 0{,}1107.$$

Logo,

$$\frac{\sqrt{M_T}}{\sqrt{M_T}+\sqrt{M_L}}=\frac{1}{1+0{,}1107}\approx 0{,}9003.$$

Então:

$$x\approx 0{,}9003\,(3{,}84\times 10^5)\approx 3{,}46\times 10^5\ \text{km}.$$

E a distância até a Lua:

$$d-x\approx 3{,}84\times 10^5-3{,}46\times 10^5\approx 3{,}83\times 10^4\ \text{km}.$$

Portanto, o ponto onde a força gravitacional resultante é nula fica mais perto da Lua, a cerca de $3{,}46\times 10^5\ \text{km}$ da Terra.

Alternativa correta: (sem alternativas).