Equilíbrio de Forças: Uma espaçonave viaja numa trajetória retilínea da Terra à Lua. Em que posição, medida a partir da Terra, a força gravitacional resultante da interação com a Terra e com a Lua sobre a nave é nula? Dados: massa da Terra = 6,0×10^24 kg; massa da Lua = 7,36×10^22 kg; distância Terra–Lua = 3,84×10^5 km.

Considere o ponto entre a Terra e a Lua onde as forças gravitacionais (em sentidos opostos) têm mesmo módulo.

Seja:

• $d=3{,}84\times 10^5\ \text{km}$ a distância Terra–Lua;
• $x$ a distância do ponto até a Terra;
• então a distância até a Lua é $d-x$.

Módulos das forças gravitacionais na nave: [ F_T = G,\frac{M_T m}{x^2},\qquad F_L = G,\frac{M_L m}{(d-x)^2}. ] No ponto de anulação, $F_T=F_L$: [ G\frac{M_T m}{x^2}=G\frac{M_L m}{(d-x)^2} \Rightarrow \frac{M_T}{x^2}=\frac{M_L}{(d-x)^2}. ] Tirando a raiz: [ \frac{\sqrt{M_T}}{x}=\frac{\sqrt{M_L}}{d-x} \Rightarrow \sqrt{M_T}(d-x)=\sqrt{M_L},x. ] Isolando $x$: [ \sqrt{M_T},d = x(\sqrt{M_T}+\sqrt{M_L}) \Rightarrow x=\frac{\sqrt{M_T}}{\sqrt{M_T}+\sqrt{M_L}},d. ] Com $M_T=6{,}0\times 10^{24}$ e $M_L=7{,}36\times 10^{22}$: [ \frac{\sqrt{M_L}}{\sqrt{M_T}}=\sqrt{\frac{M_L}{M_T}}=\sqrt{\frac{7{,}36\times 10^{22}}{6{,}0\times 10^{24}}} =\sqrt{1{,}226\times 10^{-2}}\approx 0{,}1107. ] Logo, [ \frac{\sqrt{M_T}}{\sqrt{M_T}+\sqrt{M_L}}=\frac{1}{1+0{,}1107}\approx 0{,}9003. ] Então: [ x\approx 0{,}9003,(3{,}84\times 10^5)\approx 3{,}46\times 10^5\ \text{km}. ] E a distância até a Lua: [ d-x\approx 3{,}84\times 10^5-3{,}46\times 10^5\approx 3{,}83\times 10^4\ \text{km}. ]

Portanto, o ponto onde a força gravitacional resultante é nula fica mais perto da Lua, a cerca de $3{,}46\times 10^5\ \text{km}$ da Terra.

Alternativa correta: (sem alternativas).