Circuitos CA: Para o seguinte circuito: a) Calcular as impedâncias dos condensadores e da bobina. b) Calcular as correntes I1, I2 e I3. Apresentar os resultados na forma de fasor. c) Calcular a corrente I. Apresentar o resultado na forma de fasor. Indicar a amplitude, o valor de pico e o valor médio de I. d) Calcular as potências ativa, reativa e aparente do circuito. e) Calcular o fator de potência. f) Calcular VL e VC na forma de fasor.

Dados: $V=230\,\text{V}_{\text{rms}}$, $f=50\,\text{Hz}$, $\omega=2\pi f=314{,}16\,\text{rad/s}$.
Adoto $\underline V=230\angle 0^\circ\,\text{V}$ (fasor RMS) e correntes no sentido de cima para baixo.

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a) Impedâncias dos condensadores e da bobina

Para $C=80\,\mu\text{F}$: [ X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{314{,}16\cdot 80\times 10^{-6}}\approx 39{,}79,\Omega ] [ \underline Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-j,39{,}79,\Omega ]

Para $L=0{,}6\,\text{H}$: [ X_L=\omega L=314{,}16\cdot 0{,}6\approx 188{,}50,\Omega ] [ \underline Z_L=j,188{,}50,\Omega ]

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b) Correntes $I_1$, $I_2$, $I_3$ (fasores)

Ramo 1 (apenas $40\,\Omega$)

[ \underline I_1=\frac{\underline V}{40}=\frac{230}{40}=5{,}75\angle 0^\circ,\text{A} ]

Ramo 2 ($8\,\Omega$ em série com $C$)

[ \underline Z_2=8-j39{,}79 ] [ \underline I_2=\frac{230\angle 0^\circ}{8-j39{,}79} ] Magnitude e ângulo de $\underline Z_2$: [ |Z_2|=\sqrt{8^2+39{,}79^2}\approx 40{,}59,\quad \angle Z_2=\tan^{-1}\Big(\frac{-39{,}79}{8}\Big)\approx -78{,}64^\circ ] Logo: [ \underline I_2=\frac{230}{40{,}59}\angle(0-(-78{,}64))\approx 5{,}666\angle 78{,}64^\circ,\text{A} ] Forma retangular: [ \underline I_2\approx 1{,}106 + j,5{,}557,\text{A} ]

Ramo 3 ($L$ + $C$ + $6\,\Omega$ em série)

[ \underline Z_3=6+j188{,}50-j39{,}79=6+j148{,}71 ] [ |Z_3|=\sqrt{6^2+148{,}71^2}\approx 148{,}83,\quad \angle Z_3\approx \tan^{-1}(148{,}71/6)=87{,}69^\circ ] [ \underline I_3=\frac{230}{148{,}83}\angle(0-87{,}69)\approx 1{,}545\angle(-87{,}69^\circ),\text{A} ] Forma retangular: [ \underline I_3\approx 0{,}0622 - j,1{,}544,\text{A} ]

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c) Corrente total $I$ (fasor), amplitude, pico e valor médio

[ \underline I=\underline I_1+\underline I_2+\underline I_3 ] Somando em retangular:

• $\underline I_1=5{,}75+j0$
• $\underline I_2\approx 1{,}106+j5{,}557$
• $\underline I_3\approx 0{,}0622-j1{,}544$

[ \underline I\approx (5{,}75+1{,}106+0{,}0622) + j(0+5{,}557-1{,}544) ] [ \underline I\approx 6{,}918 + j,4{,}013,\text{A} ] [ |\underline I|=\sqrt{6{,}918^2+4{,}013^2}\approx 7{,}997,\text{A},\quad \angle I\approx \tan^{-1}(4{,}013/6{,}918)=30{,}11^\circ ] [ \boxed{\underline I\approx 7{,}997\angle 30{,}11^\circ,\text{A (RMS)}} ]

• Amplitude (RMS): $I_{\text{rms}}=7{,}997\,\text{A}$.
• Valor de pico: $I_{\text{pico}}=\sqrt{2}\,I_{\text{rms}}\approx 1{,}414\cdot 7{,}997\approx 11{,}31\,\text{A}$.
• Valor médio (num período, senoide pura): $I_{\text{médio}}=0\,\text{A}$.

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d) Potências ativa ($P$), reativa ($Q$) e aparente ($S$) do circuito

Potência complexa total: [ \underline S=\underline V,\underline I^* ] Como $\underline V=230\angle 0^\circ$ e $\underline I=7{,}997\angle 30{,}11^\circ$: [ |S|=VI=230\cdot 7{,}997\approx 1839,\text{VA} ] Ângulo de $S$: [ \angle S = -\angle I = -30{,}11^\circ ] Então: [ P=|S|\cos(30{,}11^\circ)\approx 1839\cdot 0{,}865\approx 1591,\text{W} ] [ Q=|S|\sin(-30{,}11^\circ)\approx 1839\cdot (-0{,}501)\approx -921,\text{var} ] [ \boxed{S\approx 1839,\text{VA}},\quad \boxed{P\approx 1591,\text{W}},\quad \boxed{Q\approx -921,\text{var (capacitiva)}} ]

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e) Fator de potência

[ \text{fp}=\cos\varphi=\cos(30{,}11^\circ)\approx 0{,}865 ] Como $Q<0$, é adiantado (capacitivo). [ \boxed{\text{fp}\approx 0{,}865\ \text{(adiantado)}} ]

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f) $V_L$ e $V_C$ (fasores) no ramo direito

No ramo 3 a corrente é a mesma em todos os elementos: $\underline I_3$.

Tensão no indutor ($V_L$)

[ \underline V_L=\underline I_3,\underline Z_L=\underline I_3,(j188{,}50) ] Em polar: $\underline I_3=1{,}545\angle(-87{,}69^\circ)$ e $j188{,}50=188{,}50\angle 90^\circ$: [ \underline V_L=1{,}545\cdot 188{,}50\angle( -87{,}69+90) \approx 291{,}2\angle 2{,}31^\circ,\text{V} ] [ \boxed{\underline V_L\approx 291{,}2\angle 2{,}31^\circ,\text{V}} ]

Tensão no capacitor do ramo direito ($V_C$)

[ \underline V_C=\underline I_3,\underline Z_C=\underline I_3,(-j39{,}79)=\underline I_3,(39{,}79\angle-90^\circ) ] [ \underline V_C=1{,}545\cdot 39{,}79\angle(-87{,}69-90) \approx 61{,}47\angle(-177{,}69^\circ),\text{V} ] [ \boxed{\underline V_C\approx 61{,}47\angle(-177{,}69^\circ),\text{V}} ]

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Alternativa correta: (sem alternativas).