Sabe-se que é necessária uma força com um momento de 960 N·m em relação a D para se endireitar o mourão CD. Se a capacidade do guincho AB é 2 400 N, determine o valor mínimo da distância d para se criar o momento especificado em relação ao ponto D.

Queremos que a força no cabo (limitada pelo guincho) gere um momento de $960\,\text{N·m}$ em relação a $D$.

1) Geometria Pelo desenho, tome o solo como eixo $x$ e $D$ como origem.

• O ponto $C$ está a $0{,}875\,\text{m}$ acima do solo e a $0{,}2\,\text{m}$ à direita de $D$. Assim, o vetor posição é $\vec r_{DC} = \langle 0{,}2,\;0{,}875\rangle\,\text{m}.$
• O ponto de ancoragem no solo (à esquerda) está a uma distância $d$ de $D$, logo sua coordenada é $(-d,0)$.
• A direção do cabo em $C$ aponta de $C$ para a ancoragem: vetor diretor $\vec v = \langle -d-0{,}2,\; -0{,}875\rangle.$ Seu módulo é $|\vec v|=\sqrt{(d+0{,}2)^2+(0{,}875)^2}.$

2) Momento da força do cabo em relação a $D$ A força no cabo tem módulo máximo $T=2400\,\text{N}$ e direção de $\vec v$: $\vec F = T\,\frac{\vec v}{|\vec v|}.$ O momento (módulo) em 2D é $M_D = |\,\vec r_{DC}\times \vec F\,| = |x_C F_y - y_C F_x|.$ Com $x_C=0{,}2$ e $y_C=0{,}875$:

• $F_x = 2400\,\frac{-(d+0{,}2)}{|\vec v|}$
• $F_y = 2400\,\frac{-0{,}875}{|\vec v|}$

Então o módulo do momento fica \begin{align*} M_D &= \left|0{,}2\left(2400\frac{-0{,}875}{|\vec v|}\right) - 0{,}875\left(2400\frac{-(d+0{,}2)}{|\vec v|}\right)\right|\ &= 2400,\frac{\left|-0{,}175 + 0{,}875(d+0{,}2)\right|}{|\vec v|}\ &= 2400,\frac{0{,}875d}{\sqrt{(d+0{,}2)^2+0{,}875^2}}. \end{align*} (Os termos constantes se cancelam.)

Impondo $M_D=960$: $2400\,\frac{0{,}875d}{\sqrt{(d+0{,}2)^2+0{,}875^2}}=960.$ Dividindo por 2400: $\frac{0{,}875d}{\sqrt{(d+0{,}2)^2+0{,}875^2}}=0{,}4.$ Elevando ao quadrado: $0{,}875^2 d^2 = 0{,}16\left((d+0{,}2)^2+0{,}875^2\right).$ Como $0{,}875^2=0{,}765625$: $0{,}765625 d^2 = 0{,}16(d+0{,}2)^2 + 0{,}16\cdot 0{,}765625.$ $0{,}765625 d^2 = 0{,}16(d^2+0{,}4d+0{,}04) + 0{,}1225.$ $0{,}765625 d^2 = 0{,}16d^2 + 0{,}064d + 0{,}0064 + 0{,}1225.$ $0{,}765625 d^2 = 0{,}16d^2 + 0{,}064d + 0{,}1289.$ $0{,}605625 d^2 - 0{,}064d - 0{,}1289 = 0.$ Resolvendo a quadrática: $d = \frac{0{,}064 + \sqrt{0{,}064^2 + 4(0{,}605625)(0{,}1289)}}{2(0{,}605625)} \approx 0{,}064 + \sqrt{0{,}3163}\over 1{,}21125 \approx 2{,}05\,\text{m}.$ (A outra raiz é negativa e não tem sentido físico.)

3) Interpretação (por que é “mínimo”?) Para uma força máxima fixa ($2400\,\text{N}$), aumentar $d$ aumenta o braço de alavanca efetivo do cabo em relação a $D$. Assim, o menor $d$ que ainda permite $960\,\text{N·m}$ é o valor encontrado.

Resposta: $d_{\min} \approx 2{,}05\,\text{m}$.

Alternativa correta: (sem alternativas).