Em um sistema industrial, deseja-se controlar a velocidade de uma esteira transportadora utilizada em uma linha de produção. Essa esteira é acionada por um motor elétrico cuja dinâmica pode ser modelada matematicamente a partir da relação entre a tensão aplicada e a velocidade resultante. A modelagem desse sistema, obtida a partir de princípios físicos e identificação experimental, é representada pela seguinte função de transferência: Em que U(s) representa a entrada do sistema e Y(s) representa a saída, ambas no domínio de Laplace. Com base nesse modelo, analise o comportamento do sistema e responda de forma fundamentada ao que se pede: a) Determine o ordem do sistema e justifique; b) Identifique os polos do sistema. c) Analise a estabilidade do sistema com base nos polos. d) Interprete fisicamente as variáveis u(t) e y(t). e) Explique o significado da presença do polo na origem (s=0) no sistema, discutindo seu impacto no comportamento dinâmico e no erro em regime permanente para uma entrada degrau.

a) Ordem do sistema: A função de transferência é $G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{32}{s(s+4)(s+8)}.$ A ordem do sistema é o grau do polinômio do denominador (após simplificações). Como o denominador é o produto de três fatores de 1ª ordem ($s$, $s+4$, $s+8$), o grau total é 3. Logo, a ordem do sistema é 3.

b) Polos do sistema: Os polos são as raízes do denominador:

• $s=0$ (polo na origem)
• $s=-4$
• $s=-8$

c) Estabilidade do sistema (com base nos polos): Para um sistema LTI contínuo:

• Estável assintoticamente se todos os polos têm parte real estritamente negativa.
• Marginalmente estável se há polos simples no eixo imaginário (inclui a origem) e os demais no semiplano esquerdo.
• Instável se algum polo tem parte real positiva ou polo repetido no eixo imaginário.

Aqui temos polos em $-4$ e $-8$ (estáveis) e um polo simples em $0$. Portanto, o sistema é marginalmente estável (não é BIBO estável e não decai para um valor finito para certas entradas, como degrau, pois há integrador).

d) Interpretação física de $u(t)$ e $y(t)$: Pelo enunciado:

• $u(t)$: tensão aplicada ao motor (entrada de controle/acionamento).
• $y(t)$: velocidade da esteira (saída medida/variável controlada). Ou seja, o modelo relaciona como a tensão imposta no motor se transforma na velocidade resultante da esteira.

e) Significado do polo na origem ($s=0$) e impacto dinâmico/erro em regime permanente (entrada degrau): Um polo em $s=0$ significa que o sistema possui um integrador (um comportamento do tipo $\frac{1}{s}$ em cascata na dinâmica).

Impacto dinâmico:

• Um integrador faz com que uma entrada com componente constante (ex.: degrau) gere uma saída que tende a crescer ao longo do tempo, em vez de convergir para um patamar.
• Para ver isso, considere uma entrada degrau $u(t)=1(t)$, isto é, $U(s)=\frac{1}{s}$. Então: $Y(s)=G(s)U(s)=\frac{32}{s(s+4)(s+8)}\cdot\frac{1}{s}=\frac{32}{s^2(s+4)(s+8)}.$ A presença de $\frac{1}{s^2}$ indica que no tempo haverá termo do tipo rampa (crescimento aproximadamente linear para $t$ grande). Isso mostra que a saída não atinge regime permanente finito para degrau.

Impacto no erro em regime permanente (degrau):

• Em sistemas com integrador, costuma-se dizer que há “capacidade” de eliminar erro estacionário a degrau quando se trata do erro em malha fechada (por exemplo, em sistemas do tipo 1 com realimentação unitária e estáveis em malha fechada).
• Porém, neste modelo em malha aberta, com polo na origem, a saída a degrau não se estabiliza (tende a crescer), então não há um valor final para comparar e definir um “erro em regime permanente” clássico da saída para um patamar.

Em resumo: o polo na origem introduz ação integradora, tornando o sistema marginalmente estável, com resposta a degrau que não converge (cresce), e isso afeta diretamente a existência de um regime permanente finito em malha aberta.

Alternativa correta: (não se aplica).