How about _____ to the library?

A estrutura “How about … ?” é usada para fazer sugestão e, quando vem seguida de verbo, pede o gerúndio (verb + -ing).

Então, o correto é:

• How about going to the library? (Que tal ir à biblioteca?)

As outras opções não se encaixam aqui:

• to go (infinitivo) não é a forma padrão após “How about”.
• goes (3ª pessoa do singular) exigiria um sujeito explícito (“he/she goes…”), o que não ocorre na frase.