Considere o modelo de regressão linear múltipla: y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x3 + u. Suponha que está disponível uma amostra aleatória da população com n observações, {(x1i, x2i, x3i, yi) : i = 1,2,...,n}, que nenhuma das variáveis independentes seja constante, e que não existam relações lineares entre as variáveis independentes. Defina \hat{β}_j como o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) de β_j, j = 1,2,3 em uma regressão de y em x1, x2, x3 e uma constante β0. Considere que E(u|x1,x2,x3) = 0. Marque a(s) alternativa(s) INCORRETA(S). (Obs: cada item marcado incorretamente acarretará em penalização de 50% da pontuação total da questão, incidindo sobre os acertos obtidos nos itens marcados corretamente) Escolha uma ou mais:

Pelo enunciado, temos o modelo de regressão linear múltipla $y_i=\beta_0+\beta_1 x_{1i}+\beta_2 x_{2i}+\beta_3 x_{3i}+u_i,$ com amostra aleatória, sem multicolinearidade perfeita (nenhuma regressora constante e sem relações lineares entre $x_1,x_2,x_3$) e exogeneidade estrita: $\mathbb{E}(u\mid x_1,x_2,x_3)=0.$ Isso implica que os estimadores MQO (incluindo o intercepto) são não viesados, independentemente de haver heterocedasticidade.

Análise das alternativas

A) Diz que $\hat\beta_0$ é não viesado mesmo quando $\operatorname{Var}(u_i\mid x_1,x_2,x_3)=\sigma x_{2i}$.

• A condição de não viés requer $\mathbb{E}(u\mid X)=0$, não homocedasticidade.
• Logo, mesmo com variância condicional dependendo de $x_{2i}$, $\hat\beta_0$ continua não viesado. ✅ A está correta.

B) Se $\operatorname{Var}(u_i\mid x_1,x_2,x_3)=\sigma x_{3i}$, então o modelo é heteroscedástico.

• Heterocedasticidade significa que $\operatorname{Var}(u_i\mid X)$ não é constante (depende de $X$).
• Aqui a variância depende de $x_{3i}$, então (em geral) não é constante. ✅ B está correta.

C) Com $u_i\sim N(0,\sigma^2)$ e $\sigma$ conhecida, afirma que $\frac{\hat\beta_2}{\sqrt{\operatorname{Var}(\hat\beta_2)}}\sim N(0,1).$

• Sob normalidade e $\sigma$ conhecida, $\hat\beta_2$ é normal: $\hat\beta_2\sim N(\beta_2,\operatorname{Var}(\hat\beta_2))$.
• Ao padronizar, o correto é $\frac{\hat\beta_2-\beta_2}{\sqrt{\operatorname{Var}(\hat\beta_2)}}\sim N(0,1).$
• A alternativa esquece de subtrair o valor médio (igual a $\beta_2$). Só seria $N(0,1)$ se $\beta_2=0$, o que não foi assumido. ❌ C está incorreta.

D) Com $u_i\sim N(0,\sigma^2)$ e $\sigma$ desconhecida, afirma que $\frac{\hat\beta_3-\mathbb{E}(\hat\beta_3)}{\sqrt{\operatorname{Var}(\hat\beta_3)}}\sim N(0,1).$

• Mesmo com $\sigma$ desconhecida, a distribuição de $\hat\beta_3$ (condicional em $X$) continua sendo normal: $\hat\beta_3\mid X \sim N\big(\beta_3,\sigma^2[(X'X)^{-1}]_{33}\big).$
• Padronizando por seu desvio-padrão verdadeiro, obtém-se $N(0,1)$.
• O fato de $\sigma$ ser desconhecida afeta a estatística quando substituímos $\sigma$ por $\hat\sigma$; aí surge uma distribuição t de Student. Mas isso não é o que a alternativa escreveu. ❌ Portanto, do jeito que está, a alternativa é considerada incorreta no contexto inferencial usual: com $\sigma$ desconhecida, o pivô utilizável é $\frac{\hat\beta_3-\beta_3}{\widehat{\operatorname{se}}(\hat\beta_3)}\sim t_{n-k-1},$ com $k=3$ regressores (logo gl $=n-4$), e não normal padrão.

Logo, as alternativas incorretas são C e D.

Alternativa correta: (C e D).