A única frase em que “that” é necessário porque é o sujeito da oração é em:

A questão pede a única frase em que “that” é necessário porque funciona como sujeito da oração (isto é, como pronome relativo sujeito: “that” = “que”, exercendo a função de sujeito do verbo da oração relativa).

Analisando as alternativas:

a) London is that city in England. Aqui that é demonstrativo (“aquela”), determinando city. Não é sujeito de oração.

b) We know that man over there. Aqui that é demonstrativo, determinando man (“aquele homem”). Não é sujeito de oração.

c) London that is the capital of England is amazing. Aqui that introduz uma oração relativa “that is the capital of England”. Dentro dessa oração, that é o sujeito do verbo is (equivale a “London, which is the capital…”). Portanto, é o caso em que “that” tem papel de sujeito.

d) We know that the man was over there. Aqui that é conjunção (complementizador) introduzindo uma oração subordinada substantiva (“que o homem estava lá”). That não é sujeito; é apenas o conector e poderia ser omitido em muitos contextos.

e) We asked where that man has been. Aqui that é demonstrativo determinando man. Não é sujeito de oração.

Logo, a única em que “that” é sujeito de uma oração é a alternativa c.

Alternativa correta: (c).