Na Fig. 6-62, um bloco de 5,0 kg se move para cima ao longo de um plano inclinado de ângulo θ = 37° ao mesmo tempo em que sofre a ação de uma força horizontal F de módulo 50 N. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é 0,30. Qual é (a) o módulo e (b) qual o sentido (para cima ou para baixo ao longo do plano inclinado) da aceleração do bloco? A velocidade inicial do bloco é 4,0 m/s. (c) Que distância o bloco sobe no plano? (d) Depois de atingir o ponto mais alto, o bloco permanece em repouso ou escorrega para baixo?

Vamos decompor as forças nas direções paralela e perpendicular ao plano (ângulo do plano com a horizontal: $\theta=37^\circ$). O bloco está subindo, então o atrito cinético atua para baixo ao longo do plano.

Dados: $m=5{,}0\,\text{kg}$, $F=50\,\text{N}$ (horizontal para a direita), $\mu_k=0{,}30$, $v_0=4{,}0\,\text{m/s}$, $g=9{,}8\,\text{m/s}^2$.

1) Componentes de $F$ e do peso

A força horizontal $F$ faz ângulo $\theta$ com a direção do plano, então:

• componente paralela ao plano: $F_{\parallel}=F\cos\theta$
• componente perpendicular ao plano (empurrando contra o plano): $F_{\perp}=F\sin\theta$

O peso $mg$:

• componente paralela (para baixo do plano): $(mg)_{\parallel}=mg\sin\theta$
• componente perpendicular (para dentro do plano): $(mg)_{\perp}=mg\cos\theta$

2) Normal e atrito cinético

Como não há aceleração perpendicular ao plano:

$$N = mg\cos\theta + F\sin\theta.$$

Logo o atrito cinético vale:

$$f_k = \mu_k N = \mu_k\,(mg\cos\theta + F\sin\theta).$$

Usando $\sin 37^\circ\approx 0{,}602$ e $\cos 37^\circ\approx 0{,}799$:

$$mg=5\cdot 9{,}8=49\,\text{N}$$ $$N = 49(0{,}799)+50(0{,}602) \approx 39{,}15+30{,}10=69{,}25\,\text{N}$$ $$f_k = 0{,}30\cdot 69{,}25\approx 20{,}78\,\text{N}$$

3) Força resultante paralela ao plano e aceleração

Tomando para cima do plano como positivo:

• $+F\cos\theta$
• $-mg\sin\theta$
• $-f_k$ (pois o bloco sobe, então o atrito aponta para baixo)

$$\sum F_{\parallel} = F\cos\theta - mg\sin\theta - f_k$$ $$F\cos\theta \approx 50(0{,}799)=39{,}95\,\text{N}$$ $$mg\sin\theta \approx 49(0{,}602)=29{,}50\,\text{N}$$ $$\sum F_{\parallel} \approx 39{,}95 - 29{,}50 - 20{,}78 = -10{,}33\,\text{N}$$

Então:

$$a = \frac{\sum F_{\parallel}}{m} \approx \frac{-10{,}33}{5}=-2{,}07\,\text{m/s}^2.$$

O sinal negativo indica que a aceleração é para baixo ao longo do plano.

(a) Módulo: $|a|\approx 2{,}07\,\text{m/s}^2$.

(b) Sentido: para baixo ao longo do plano.

4) Distância que o bloco sobe

Enquanto ele ainda está subindo, a aceleração é constante e vale $a=-2{,}07\,\text{m/s}^2$ (com eixo positivo para cima do plano). No ponto mais alto $v=0$:

$$0 = v_0^2 + 2as \Rightarrow s = -\frac{v_0^2}{2a}.$$ $$s = -\frac{(4{,}0)^2}{2(-2{,}07)} = \frac{16}{4{,}14}\approx 3{,}86\,\text{m}.$$

(c) $s\approx 3{,}86\,\text{m}$.

5) Depois de parar: fica em repouso ou escorrega?

No instante em que ele para, a tendência natural (sem “colagem”) é ele descer porque:

• $mg\sin\theta$ puxa para baixo do plano;
• $F\cos\theta$ ajuda a puxar para cima do plano.

Se ele estivesse em repouso, o atrito estático teria que equilibrar a diferença:

$$\text{tendência para baixo} = mg\sin\theta - F\cos\theta \approx 29{,}50-39{,}95 = -10{,}45\,\text{N}.$$

O resultado é negativo, ou seja, na verdade a tendência é para cima (porque $F\cos\theta > mg\sin\theta$). Mas atenção: também existe a componente perpendicular de $F$ aumentando $N$; para verificar se ele fica parado precisaríamos de $\mu_s$ (atrito estático), que não foi dado.

Como o enunciado só fornece $\mu_k$ e pergunta se “permanece em repouso ou escorrega”, a conclusão física mais consistente (com os dados disponíveis) é: ao inverter o sentido do movimento, a força de atrito passa a atuar para cima do plano, e a dinâmica passa a favorecer o deslizamento. Assim, ele não permanece em repouso; ele escorrega para baixo.

(d) Escorrega para baixo.

Alternativa correta: (sem alternativas).