Colisões: Considere duas partículas, m1 e m2, inicialmente com velocidades v1 e v2 unidimensionais. Depois de certo tempo elas colidem elasticamente em uma dimensão. a) Calcule as velocidades das partículas depois da colisão (prove) b) O que podemos dizer das velocidades relativas das partículas antes e depois da colisão? Justifique.

a) Velocidades após uma colisão elástica 1D (prova)

Considere massas $m_1, m_2$ com velocidades iniciais (escalares) $v_1, v_2$ e finais $v_1', v_2'$. Em colisão elástica unidimensional valem simultaneamente:

1. Conservação do momento linear [ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'. ]

2. Conservação da energia cinética [ \frac12 m_1 v_1^2 + \frac12 m_2 v_2^2 = \frac12 m_1 {v_1'}^2 + \frac12 m_2 {v_2'}^2. ]

Multiplicando a equação de energia por 2 e rearranjando: [ m_1,(v_1^2-{v_1'}^2)=m_2,({v_2'}^2-v_2^2). ] Fatorando diferença de quadrados: [ m_1 (v_1-v_1')(v_1+v_1')=m_2 (v_2'-v_2)(v_2'+v_2). ]

Da conservação do momento: [ m_1(v_1-v_1')=m_2(v_2'-v_2). ] Substituindo na expressão anterior (ou dividindo membro a membro, desde que não seja o caso trivial de não haver troca de velocidades): [ v_1+v_1' = v_2'+v_2. ] Logo, [ v_1 - v_2 = v_2' - v_1'. ]

Agora resolvemos o sistema linear dado por: [ \begin{cases} m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \ v_1 - v_2 = v_2' - v_1' \end{cases} ] Da segunda: $v_2' = v_1 - v_2 + v_1'$.

Substituindo na do momento: [ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2(v_1 - v_2 + v_1'). ] [ m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1+m_2)v_1' + m_2 v_1 - m_2 v_2. ] [ (m_1-m_2)v_1 + 2m_2 v_2 = (m_1+m_2) v_1'. ] Portanto, [ \boxed{;v_1' = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1 + \frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2;}. ]

E então [ v_2' = v_1 - v_2 + v_1' = v_1 - v_2 + \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1 + \frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2. ] Colocando sobre $m_1+m_2$: [ v_2' = \frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1 + \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2. ] Assim, [ \boxed{;v_2' = \frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1 + \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2;}. ]

---

b) Velocidades relativas antes e depois

A relação obtida acima [ v_1 - v_2 = v_2' - v_1' ] é equivalente a [ \boxed{;v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2');}. ] Isto diz que a velocidade relativa de aproximação (antes) é igual, em módulo, à velocidade relativa de separação (depois), com sinal trocado.

Em termos de “coeficiente de restituição” $e$ em 1D, [ e = \frac{\text{velocidade relativa de separação}}{\text{velocidade relativa de aproximação}} = \frac{v_2'-v_1'}{v_1-v_2}. ] Para colisão elástica, $e=1$, logo: [ v_2'-v_1' = v_1 - v_2. ] Ou seja: as partículas “se afastam” com a mesma rapidez relativa com que “se aproximavam”, apenas invertendo o sentido relativo.

Alternativa correta: (sem alternativas).