Considere duas partículas, m1 e m2, inicialmente com velocidades v1 e v2 unidimensionais. Depois de certo tempo elas colidem elasticamente em uma dimensão. a) Calcule as velocidades das partículas depois da colisão (prove) b) O que podemos dizer das velocidades relativas das partículas antes e depois da colisão? Justifique.

a) Velocidades após uma colisão elástica 1D (prova)

Considere massas $m_1, m_2$ com velocidades iniciais (escalares) $v_1, v_2$ e finais $v_1', v_2'$. Em colisão elástica unidimensional valem simultaneamente:

1. Conservação do momento linear

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'.$$

2. Conservação da energia cinética

$$\frac12 m_1 v_1^2 + \frac12 m_2 v_2^2 = \frac12 m_1 {v_1'}^2 + \frac12 m_2 {v_2'}^2.$$

Multiplicando a equação de energia por 2 e rearranjando:

$$m_1\,(v_1^2-{v_1'}^2)=m_2\,({v_2'}^2-v_2^2).$$

Fatorando diferença de quadrados:

$$m_1 (v_1-v_1')(v_1+v_1')=m_2 (v_2'-v_2)(v_2'+v_2).$$

Da conservação do momento:

$$m_1(v_1-v_1')=m_2(v_2'-v_2).$$

Substituindo na expressão anterior (ou dividindo membro a membro, desde que não seja o caso trivial de não haver troca de velocidades):

$$v_1+v_1' = v_2'+v_2.$$

Logo,

$$v_1 - v_2 = v_2' - v_1'.$$

Agora resolvemos o sistema linear dado por:

$$\begin{cases} m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \\ v_1 - v_2 = v_2' - v_1' \end{cases}$$

Da segunda: $v_2' = v_1 - v_2 + v_1'$.

Substituindo na do momento:

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2(v_1 - v_2 + v_1').$$ $$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1+m_2)v_1' + m_2 v_1 - m_2 v_2.$$ $$(m_1-m_2)v_1 + 2m_2 v_2 = (m_1+m_2) v_1'.$$

Portanto,

$$\boxed{\;v_1' = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1 + \frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2\;}.$$

E então

$$v_2' = v_1 - v_2 + v_1' = v_1 - v_2 + \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1 + \frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2.$$

Colocando sobre $m_1+m_2$:

$$v_2' = \frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1 + \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2.$$

Assim,

$$\boxed{\;v_2' = \frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1 + \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2\;}.$$

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b) Velocidades relativas antes e depois

A relação obtida acima

$$v_1 - v_2 = v_2' - v_1'$$

é equivalente a

$$\boxed{\;v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2')\;}.$$

Isto diz que a velocidade relativa de aproximação (antes) é igual, em módulo, à velocidade relativa de separação (depois), com sinal trocado.

Em termos de “coeficiente de restituição” $e$ em 1D,

$$e = \frac{\text{velocidade relativa de separação}}{\text{velocidade relativa de aproximação}} = \frac{v_2'-v_1'}{v_1-v_2}.$$

Para colisão elástica, $e=1$, logo:

$$v_2'-v_1' = v_1 - v_2.$$

Ou seja: as partículas “se afastam” com a mesma rapidez relativa com que “se aproximavam”, apenas invertendo o sentido relativo.

Alternativa correta: (sem alternativas).