Vou resolver por análise nodal (MNA), escolhendo o nó inferior esquerdo (que é o mesmo nó médio/esquerdo) como referência VA=0.
1) Definição dos nós (conforme a descrição)
- Nó A: nó esquerdo (médio/esquerdo = inferior esquerdo). Referência: VA=0.
- Nó B: nó superior esquerdo. Há uma fonte de 120 V entre B (topo, +) e A (baixo, −):
VB−VA=120⇒VB=120 V.
- Nó C: nó superior central (entre a fonte de 40 V do topo e o resistor de 8 Ω; e topo do resistor vertical de 4 Ω).
- Nó D: nó superior direito.
- Nó F: nó central (interseção do ramo do meio com o vertical).
- Nó G: nó inferior central.
- Nó H: nó direito (médio direito = inferior direito, pois há fio ligando).
2) Relações de fontes ideais (supernós)
Fonte de 40 V no ramo superior (− à esquerda, + à direita)
Entre o nó após o resistor de 4 Ω (chamarei de X) e o nó C:
VC−VX=40.
Mas X só conecta ao resistor 4 Ω vindo de B e à fonte, então a corrente no resistor (de B para X) é a mesma que atravessa a fonte para C. Dá para “absorver” isso escrevendo corrente no ramo B→C como:
Resistor 4 Ω + fonte 40 V em série equivalem, para KCL, a corrente
IB→C=4VB−(VC−40)=4VB−VC+40.
Fonte de 40 V no ramo direito (− em cima, + embaixo)
Entre D (em cima) e um nó intermediário Y (embaixo da fonte):
VY−VD=40⇒VY=VD+40.
E Y liga ao resistor de 2 Ω até H, então a corrente de D para H no ramo (fonte + resistor) é:
ID→H=2VY−VH=2VD+40−VH.
Ramo inferior esquerdo: fonte 100 V (+ à esquerda, − à direita) + resistor 4 Ω até G
A fonte está entre A (esquerda, +) e um nó Z (direita, −):
VA−VZ=100⇒VZ=VA−100=−100 V.
Corrente do nó A para G através desse ramo (fonte + resistor 4 Ω) é a corrente no resistor entre Z e G:
IA→G=4VZ−VG=4−100−VG.
Ramo inferior direito: resistor 4 Ω + fonte 90 V (− à esquerda, + à direita)
Há um resistor 4 Ω de G para um nó W, e uma fonte 90 V de W (−) para H (+):
VH−VW=90⇒VW=VH−90.
Corrente de G para H nesse ramo é a corrente no resistor entre G e W:
IG→H=4VG−VW=4VG−(VH−90)=4VG−VH+90.
3) Equações de KCL
Nó C
Conectado a: ramo para B (equivalente), resistor 8 Ω para D, resistor 4 Ω para F.
8VC−VD+4VC−VF+4VC−(VB+40)=0
pois a corrente de C para B é 4(VC−40)−VB=4VC−VB−40.
Com VB=120:
8VC−VD+4VC−VF+4VC−160=0.(1)
Nó D
Conectado a: resistor 8 Ω para C e ramo (fonte+2Ω) para H.
8VD−VC+2VD+40−VH=0.(2)
Nó F
Conectado a: resistor 4 Ω para C, resistor 2 Ω para G, resistor 12 Ω para A(=0).
4VF−VC+2VF−VG+12VF−0=0.(3)
Nó G
Conectado a: resistor 2 Ω para F, resistor 4 Ω (vertical) para F? (atenção: no ramo central abaixo de F há 2 Ω e depois 4 Ω até G; portanto entre F e G a resistência equivalente é 2+4=6Ω se não houver nó intermediário. Como a descrição indica elementos em série sem derivação, posso tratar como um único resistor de 6 Ω entre F e G.)
Então ajustando: entre F e G é 6Ω (não 2Ω).
Além disso, G liga ao ramo inferior esquerdo (via resistor 4 Ω vindo de −100 V) e ao ramo inferior direito (para H) via equação acima.
Logo KCL em F e G precisam refletir 6Ω:
Reescrevendo (3) corretamente:
4VF−VC+6VF−VG+12VF=0.(3′)
E no nó G:
Correntes saindo de G para F, para o ramo esquerdo (até nó fixo −100 V), e para H:
6VG−VF+4VG−(−100)+4VG−VH+90=0.(4)
Nó H
Conectado ao ramo vindo de D (equivalente) e ao ramo vindo de G:
Corrente saindo de H para D é o negativo da expressão do ramo D→H:
IH→D=2VH−(VD+40).
Corrente saindo de H para G (pelo ramo do resistor 4 Ω e fonte 90 V) é:
IH→G=−4VG−VH+90=4VH−VG−90.
KCL:
2VH−VD−40+4VH−VG−90=0.(5)
4) Resolvendo o sistema
Vou simplificar rapidamente:
(1) Multiplicando por 8:
(VC−VD)+2(VC−VF)+2(VC−160)=0
VC−VD+2VC−2VF+2VC−320=0
5VC−VD−2VF=320.(1a)
(2) Multiplicando por 8:
(VD−VC)+4(VD+40−VH)=0
VD−VC+4VD+160−4VH=0
5VD−VC−4VH=−160.(2a)
(3') Multiplicando por 12:
3(VF−VC)+2(VF−VG)+VF=0
3VF−3VC+2VF−2VG+VF=0
6VF−3VC−2VG=0.(3a)
(4) Multiplicando por 12:
2(VG−VF)+3(VG+100)+3(VG−VH+90)=0
2VG−2VF+3VG+300+3VG−3VH+270=0
8VG−2VF−3VH+570=0
8VG−2VF−3VH=−570.(4a)
(5) Multiplicando por 4:
2(VH−VD−40)+(VH−VG−90)=0
2VH−2VD−80+VH−VG−90=0
3VH−2VD−VG=170.(5a)
Agora resolvendo:
De (3a):
6VF=3VC+2VG⇒VF=21VC+31VG.(6)
De (5a):
2VD=3VH−VG−170⇒VD=23VH−21VG−85.(7)
Substitua (6) em (1a):
5VC−VD−2(21VC+31VG)=320
5VC−VD−(VC+32VG)=320
4VC−VD−32VG=320.(8)
Substitua (7) em (2a):
5VD−VC−4VH=−160
5(23VH−21VG−85)−VC−4VH=−160
(215VH−25VG−425)−VC−4VH=−160
(27VH−25VG)−VC=265
Multiplicando por 2:
7VH−5VG−2VC=530.(9)
Use (4a) com (6):
8VG−2VF−3VH=−570
8VG−2(21VC+31VG)−3VH=−570
8VG−(VC+32VG)−3VH=−570
322VG−VC−3VH=−570
Multiplicando por 3:
22VG−3VC−9VH=−1710.(10)
Agora (8) com (7):
(8) diz 4VC−VD−32VG=320.
Substituindo VD:
4VC−(23VH−21VG−85)−32VG=320
4VC−23VH+21VG+85−32VG=320
Coef. de VG: 21−32=−61.
4VC−23VH−61VG=235
Multiplicando por 6:
24VC−9VH−VG=1410.(11)
Sistema em VC,VG,VH usando (9), (10), (11):
(9) −2VC−5VG+7VH=530
(10) −3VC+22VG−9VH=−1710
(11) 24VC−VG−9VH=1410
Resolvendo (rápido):
De (11): −VG=1410−24VC+9VH⇒VG=24VC−9VH−1410. (12)
Substituir (12) em (9):
−2VC−5(24VC−9VH−1410)+7VH=530
−2VC−120VC+45VH+7050+7VH=530
−122VC+52VH=−6520
Dividindo por 2:
−61VC+26VH=−3260.(13)
Substituir (12) em (10):
−3VC+22(24VC−9VH−1410)−9VH=−1710
−3VC+528VC−198VH−31020−9VH=−1710
525VC−207VH=29310
Dividindo por 3:
175VC−69VH=9770.(14)
Resolver (13) e (14):
Multiplique (13) por 175: −10675VC+4550VH=−570500.
Multiplique (14) por 61: 10675VC−4209VH=595970.
Somando:
341VH=25470⇒VH≈74,69 V.
Em (13):
−61VC+26(74,69)=−3260
−61VC+1941,94=−3260
−61VC=−5201,94⇒VC≈85,28 V.
Então por (12):
VG=24(85,28)−9(74,69)−1410≈2046,72−672,21−1410≈−35,49 V.
E por (6):
VF=21VC+31VG≈42,64−11,83=30,81 V.
5) Corrente no resistor de 12 Ω
O resistor de 12 Ω está entre o nó A (0 V) e o nó F.
Tomando sentido da esquerda para a direita (de A para F):
I12=12VA−VF=120−30,81≈−2,57 A.
O sinal negativo indica que o sentido real é o oposto: de F para A (da direita para a esquerda) com magnitude 2,57 A.
Arredondando para uma casa (ou valor típico de prova): I≈2,5A, fluindo da direita para a esquerda no resistor de 12 Ω.