1) Calcule a corrente elétrica no resistor de 12 Ω da figura abaixo.

Vou resolver por análise nodal (MNA), escolhendo o nó inferior esquerdo (que é o mesmo nó médio/esquerdo) como referência $V_A=0$.

1) Definição dos nós (conforme a descrição)

• Nó $A$: nó esquerdo (médio/esquerdo = inferior esquerdo). Referência: $V_A=0$.
• Nó $B$: nó superior esquerdo. Há uma fonte de 120 V entre $B$ (topo, +) e $A$ (baixo, −): $V_B - V_A = 120 \Rightarrow V_B=120\text{ V}.$
• Nó $C$: nó superior central (entre a fonte de 40 V do topo e o resistor de 8 Ω; e topo do resistor vertical de 4 Ω).
• Nó $D$: nó superior direito.
• Nó $F$: nó central (interseção do ramo do meio com o vertical).
• Nó $G$: nó inferior central.
• Nó $H$: nó direito (médio direito = inferior direito, pois há fio ligando).

2) Relações de fontes ideais (supernós)

Fonte de 40 V no ramo superior (− à esquerda, + à direita)

Entre o nó após o resistor de 4 Ω (chamarei de $X$) e o nó $C$: $V_C - V_X = 40.$ Mas $X$ só conecta ao resistor 4 Ω vindo de $B$ e à fonte, então a corrente no resistor (de $B$ para $X$) é a mesma que atravessa a fonte para $C$. Dá para “absorver” isso escrevendo corrente no ramo $B\to C$ como: Resistor 4 Ω + fonte 40 V em série equivalem, para KCL, a corrente $I_{B\to C} = \frac{V_B - (V_C-40)}{4} = \frac{V_B - V_C + 40}{4}.$

Fonte de 40 V no ramo direito (− em cima, + embaixo)

Entre $D$ (em cima) e um nó intermediário $Y$ (embaixo da fonte): $V_Y - V_D = 40 \Rightarrow V_Y = V_D + 40.$ E $Y$ liga ao resistor de 2 Ω até $H$, então a corrente de $D$ para $H$ no ramo (fonte + resistor) é: $I_{D\to H} = \frac{V_Y - V_H}{2} = \frac{V_D + 40 - V_H}{2}.$

Ramo inferior esquerdo: fonte 100 V (+ à esquerda, − à direita) + resistor 4 Ω até $G$

A fonte está entre $A$ (esquerda, +) e um nó $Z$ (direita, −): $V_A - V_Z = 100 \Rightarrow V_Z = V_A - 100 = -100\text{ V}.$ Corrente do nó $A$ para $G$ através desse ramo (fonte + resistor 4 Ω) é a corrente no resistor entre $Z$ e $G$: $I_{A\to G} = \frac{V_Z - V_G}{4} = \frac{-100 - V_G}{4}.$

Ramo inferior direito: resistor 4 Ω + fonte 90 V (− à esquerda, + à direita)

Há um resistor 4 Ω de $G$ para um nó $W$, e uma fonte 90 V de $W$ (−) para $H$ (+): $V_H - V_W = 90 \Rightarrow V_W = V_H - 90.$ Corrente de $G$ para $H$ nesse ramo é a corrente no resistor entre $G$ e $W$: $I_{G\to H} = \frac{V_G - V_W}{4} = \frac{V_G - (V_H - 90)}{4} = \frac{V_G - V_H + 90}{4}.$

3) Equações de KCL

Nó $C$

Conectado a: ramo para $B$ (equivalente), resistor 8 Ω para $D$, resistor 4 Ω para $F$. $\frac{V_C - V_D}{8} + \frac{V_C - V_F}{4} + \frac{V_C - (V_B+40)}{4} = 0$ pois a corrente de $C$ para $B$ é $\frac{(V_C-40)-V_B}{4} = \frac{V_C - V_B - 40}{4}$. Com $V_B=120$: $\frac{V_C - V_D}{8} + \frac{V_C - V_F}{4} + \frac{V_C - 160}{4} = 0. \quad (1)$

Nó $D$

Conectado a: resistor 8 Ω para $C$ e ramo (fonte+2Ω) para $H$. $\frac{V_D - V_C}{8} + \frac{V_D + 40 - V_H}{2} = 0. \quad (2)$

Nó $F$

Conectado a: resistor 4 Ω para $C$, resistor 2 Ω para $G$, resistor 12 Ω para $A(=0)$. $\frac{V_F - V_C}{4} + \frac{V_F - V_G}{2} + \frac{V_F - 0}{12} = 0. \quad (3)$

Nó $G$

Conectado a: resistor 2 Ω para $F$, resistor 4 Ω (vertical) para $F$? (atenção: no ramo central abaixo de $F$ há 2 Ω e depois 4 Ω até $G$; portanto entre $F$ e $G$ a resistência equivalente é $2+4=6\,\Omega$ se não houver nó intermediário. Como a descrição indica elementos em série sem derivação, posso tratar como um único resistor de 6 Ω entre $F$ e $G$.)

Então ajustando: entre $F$ e $G$ é $6\,\Omega$ (não $2\,\Omega$). Além disso, $G$ liga ao ramo inferior esquerdo (via resistor 4 Ω vindo de $-100$ V) e ao ramo inferior direito (para $H$) via equação acima. Logo KCL em $F$ e $G$ precisam refletir $6\,\Omega$:

Reescrevendo (3) corretamente: $\frac{V_F - V_C}{4} + \frac{V_F - V_G}{6} + \frac{V_F}{12} = 0. \quad (3')$

E no nó $G$: Correntes saindo de $G$ para $F$, para o ramo esquerdo (até nó fixo $-100$ V), e para $H$: $\frac{V_G - V_F}{6} + \frac{V_G - (-100)}{4} + \frac{V_G - V_H + 90}{4} = 0. \quad (4)$

Nó $H$

Conectado ao ramo vindo de $D$ (equivalente) e ao ramo vindo de $G$: Corrente saindo de $H$ para $D$ é o negativo da expressão do ramo $D\to H$: $I_{H\to D} = \frac{V_H - (V_D+40)}{2}.$ Corrente saindo de $H$ para $G$ (pelo ramo do resistor 4 Ω e fonte 90 V) é: $I_{H\to G} = -\frac{V_G - V_H + 90}{4} = \frac{V_H - V_G - 90}{4}.$ KCL: $\frac{V_H - V_D - 40}{2} + \frac{V_H - V_G - 90}{4} = 0. \quad (5)$

4) Resolvendo o sistema

Vou simplificar rapidamente:

(1) Multiplicando por 8: $(V_C - V_D) + 2(V_C - V_F) + 2(V_C - 160)=0$ $V_C - V_D + 2V_C - 2V_F + 2V_C - 320=0$ $5V_C - V_D - 2V_F = 320. \quad (1a)$

(2) Multiplicando por 8: $(V_D - V_C) + 4(V_D + 40 - V_H)=0$ $V_D - V_C + 4V_D + 160 - 4V_H=0$ $5V_D - V_C - 4V_H = -160. \quad (2a)$

(3') Multiplicando por 12: $3(V_F - V_C) + 2(V_F - V_G) + V_F = 0$ $3V_F - 3V_C + 2V_F - 2V_G + V_F=0$ $6V_F - 3V_C - 2V_G = 0. \quad (3a)$

(4) Multiplicando por 12: $2(V_G - V_F) + 3(V_G+100) + 3(V_G - V_H + 90)=0$ $2V_G - 2V_F + 3V_G + 300 + 3V_G - 3V_H + 270=0$ $8V_G - 2V_F - 3V_H + 570 = 0$ $8V_G - 2V_F - 3V_H = -570. \quad (4a)$

(5) Multiplicando por 4: $2(V_H - V_D - 40) + (V_H - V_G - 90)=0$ $2V_H - 2V_D - 80 + V_H - V_G - 90=0$ $3V_H - 2V_D - V_G = 170. \quad (5a)$

Agora resolvendo: De (3a): $6V_F = 3V_C + 2V_G \Rightarrow V_F = \frac{1}{2}V_C + \frac{1}{3}V_G. \quad (6)$

De (5a): $2V_D = 3V_H - V_G - 170 \Rightarrow V_D = \frac{3}{2}V_H - \frac{1}{2}V_G - 85. \quad (7)$

Substitua (6) em (1a): $5V_C - V_D - 2\left(\frac{1}{2}V_C + \frac{1}{3}V_G\right)=320$ $5V_C - V_D - (V_C + \tfrac{2}{3}V_G)=320$ $4V_C - V_D - \tfrac{2}{3}V_G = 320. \quad (8)$

Substitua (7) em (2a): $5V_D - V_C - 4V_H = -160$ $5\left(\tfrac{3}{2}V_H - \tfrac{1}{2}V_G - 85\right) - V_C - 4V_H = -160$ $\left(\tfrac{15}{2}V_H - \tfrac{5}{2}V_G - 425\right) - V_C - 4V_H = -160$ $\left(\tfrac{7}{2}V_H - \tfrac{5}{2}V_G\right) - V_C = 265$ Multiplicando por 2: $7V_H - 5V_G - 2V_C = 530. \quad (9)$

Use (4a) com (6): $8V_G - 2V_F - 3V_H = -570$ $8V_G - 2\left(\tfrac{1}{2}V_C + \tfrac{1}{3}V_G\right) - 3V_H = -570$ $8V_G - (V_C + \tfrac{2}{3}V_G) - 3V_H = -570$ $\tfrac{22}{3}V_G - V_C - 3V_H = -570$ Multiplicando por 3: $22V_G - 3V_C - 9V_H = -1710. \quad (10)$

Agora (8) com (7): (8) diz $4V_C - V_D - \tfrac{2}{3}V_G = 320$. Substituindo $V_D$: $4V_C - \left(\tfrac{3}{2}V_H - \tfrac{1}{2}V_G - 85\right) - \tfrac{2}{3}V_G = 320$ $4V_C - \tfrac{3}{2}V_H + \tfrac{1}{2}V_G + 85 - \tfrac{2}{3}V_G = 320$ Coef. de $V_G$: $\tfrac{1}{2}-\tfrac{2}{3}=-\tfrac{1}{6}$. $4V_C - \tfrac{3}{2}V_H - \tfrac{1}{6}V_G = 235$ Multiplicando por 6: $24V_C - 9V_H - V_G = 1410. \quad (11)$

Sistema em $V_C, V_G, V_H$ usando (9), (10), (11): (9) $-2V_C -5V_G +7V_H = 530$ (10) $-3V_C +22V_G -9V_H = -1710$ (11) $24V_C - V_G -9V_H = 1410$

Resolvendo (rápido): De (11): $-V_G = 1410 - 24V_C + 9V_H \Rightarrow V_G = 24V_C - 9V_H - 1410$. (12)

Substituir (12) em (9): $-2V_C -5(24V_C - 9V_H -1410) + 7V_H = 530$ $-2V_C -120V_C +45V_H +7050 +7V_H = 530$ $-122V_C +52V_H = -6520$ Dividindo por 2: $-61V_C +26V_H = -3260. \quad (13)$

Substituir (12) em (10): $-3V_C + 22(24V_C - 9V_H -1410) - 9V_H = -1710$ $-3V_C + 528V_C -198V_H -31020 -9V_H = -1710$ $525V_C -207V_H = 29310$ Dividindo por 3: $175V_C -69V_H = 9770. \quad (14)$

Resolver (13) e (14): Multiplique (13) por 175: $-10675V_C +4550V_H = -570500$. Multiplique (14) por 61: $10675V_C -4209V_H = 595970$. Somando: $341V_H = 25470 \Rightarrow V_H \approx 74,69\text{ V}.$ Em (13): $-61V_C + 26(74,69) = -3260$ $-61V_C + 1941,94 = -3260$ $-61V_C = -5201,94 \Rightarrow V_C \approx 85,28\text{ V}.$ Então por (12): $V_G = 24(85,28) - 9(74,69) -1410 \approx 2046,72 - 672,21 -1410 \approx -35,49\text{ V}.$ E por (6): $V_F = \tfrac{1}{2}V_C + \tfrac{1}{3}V_G \approx 42,64 - 11,83 = 30,81\text{ V}.$

5) Corrente no resistor de 12 Ω

O resistor de 12 Ω está entre o nó $A$ (0 V) e o nó $F$. Tomando sentido da esquerda para a direita (de $A$ para $F$): $I_{12} = \frac{V_A - V_F}{12} = \frac{0 - 30,81}{12} \approx -2,57\text{ A}.$ O sinal negativo indica que o sentido real é o oposto: de $F$ para $A$ (da direita para a esquerda) com magnitude $2,57$ A.

Arredondando para uma casa (ou valor típico de prova): $I\approx 2,5\,\text{A}$, fluindo da direita para a esquerda no resistor de 12 Ω.