Um caixote de massa m = 100 kg é empurrado por uma força horizontal F que o faz subir uma rampa sem atrito (θ = 30,0°) com velocidade constante. Qual é o módulo da força que a rampa exerce sobre o caixote?

Como a rampa é sem atrito e o caixote sobe com velocidade constante, a resultante em cada direção é nula.

Escolha eixos: um paralelo à rampa e outro perpendicular à rampa.

1) Equilíbrio na direção paralela à rampa

• Componente do peso descendo a rampa: $mg\sin\theta$
• Componente da força horizontal $F$ subindo a rampa: $F\cos\theta$ (pois o ângulo entre $F$ horizontal e a direção da rampa é $\theta$)

Velocidade constante $\Rightarrow$ soma das forças paralelas é zero:

$$F\cos\theta - mg\sin\theta = 0 \Rightarrow F = mg\tan\theta.$$

2) Equilíbrio na direção perpendicular à rampa Agora somamos as componentes que “apertam” o caixote contra a rampa:

• Componente do peso perpendicular à rampa: $mg\cos\theta$ (para dentro da rampa)
• Componente perpendicular de $F$: $F\sin\theta$ (também para dentro da rampa)
• Normal $N$ atua para fora da rampa.

Equilíbrio perpendicular:

$$N - mg\cos\theta - F\sin\theta = 0 \Rightarrow N = mg\cos\theta + F\sin\theta.$$

Substituindo $F = mg\tan\theta$:

$$N = mg\cos\theta + (mg\tan\theta)\sin\theta = mg\cos\theta + mg\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} = mg\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\cos\theta} = \frac{mg}{\cos\theta}.$$

3) Cálculo numérico Com $m=100\,\mathrm{kg}$, $\theta=30^\circ$ e adotando $g\approx 10\,\mathrm{m/s^2}$:

$$N = \frac{mg}{\cos 30^\circ} = \frac{100\cdot 10}{\sqrt{3}/2} = \frac{1000}{0{,}866}\approx 1{,}15\times 10^3\,\mathrm{N}.$$

Logo, a rampa exerce no caixote uma força normal de aproximadamente $1{,}15\times 10^3\,\mathrm{N}$.

Alternativa correta: (sem alternativas).