4.2. Considere o instante em que os blocos se encontram. Determine a componente escalar da velocidade do bloco B nesse instante. Apresente todas as etapas de resolução, explicitando-as.

Temos as posições (em metros):

$x_A(t)=-2{,}5+3{,}0t+0{,}30t^2$ $x_B(t)=2{,}3-3{,}0t+0{,}20t^2$

1) Instante do encontro

No encontro, $x_A(t)=x_B(t)$:

$-2{,}5+3{,}0t+0{,}30t^2 = 2{,}3-3{,}0t+0{,}20t^2$

Reunindo termos no mesmo membro:

$0{,}30t^2-0{,}20t^2 +3{,}0t+3{,}0t -2{,}5-2{,}3=0$

$0{,}10t^2+6{,}0t-4{,}8=0$

Multiplicando por 10 para simplificar:

$t^2+60t-48=0$

Aplicando Bhaskara:

$t=\frac{-60\pm\sqrt{60^2-4\cdot 1\cdot(-48)}}{2} = \frac{-60\pm\sqrt{3600+192}}{2}=\frac{-60\pm\sqrt{3792}}{2}$

$\sqrt{3792}\approx 61{,}58$

Logo:

$t_1=\frac{-60+61{,}58}{2}\approx 0{,}79\ \text{s}$ $t_2=\frac{-60-61{,}58}{2}\approx -60{,}79\ \text{s}$

Como o tempo físico do problema é $t\ge 0$, o instante do encontro é:

$t_e\approx 0{,}79\ \text{s}$

2) Velocidade do bloco B

A velocidade é a derivada de $x_B(t)$:

$v_B(t)=\frac{dx_B}{dt}=\frac{d}{dt}\left(2{,}3-3{,}0t+0{,}20t^2\right)=-3{,}0+0{,}40t$

No instante do encontro $t=t_e\approx 0{,}79$ s:

$v_B(t_e)=-3{,}0+0{,}40\cdot 0{,}79\approx -3{,}0+0{,}316\approx -2{,}68\ \text{m/s}$

3) Checagem do cálculo (observação importante)

Pelo enunciado/figura, o encontro ocorre quando as posições se igualam. Fazendo a igualdade novamente com cuidado:

\n Reescrevendo:

$x_A-x_B = \left(-2{,}5+3t+0{,}30t^2\right)-\left(2{,}3-3t+0{,}20t^2\right)$

$x_A-x_B = -4{,}8+6t+0{,}10t^2$

Encontro: $x_A-x_B=0$:

$0{,}10t^2+6t-4{,}8=0$

Dividindo por $0{,}10$:

$t^2+60t-48=0$

Isso confirma $t_e\approx 0{,}79$ s.

Portanto, a velocidade correta no encontro é:

$v_B(t_e)\approx -2{,}68\ \text{m/s}$

(negativa, ou seja, no sentido oposto ao eixo $+x$).