EXEMPLO SALA: CALCULAR O MOMENTO PELOS MÉTODOS DA ALAVANCA PERPENDICULAR E DAS COMPONENTES DO MOMENTO EM RELAÇÃO AO PONTO A.

Questão

EXEMPLO SALA: CALCULAR O MOMENTO PELOS MÉTODOS DA ALAVANCA PERPENDICULAR E DAS COMPONENTES DO MOMENTO EM RELAÇÃO AO PONTO A.

Imagem 1

Diagrama da peça e dados (em relação ao ponto A):

  • Distâncias mostradas: horizontal de A até a articulação intermediária = 100 mm; da articulação intermediária até B = 100 mm (logo, distância horizontal A→B = 200 mm). Elevação vertical da articulação/B em relação a A = 100 mm.
  • Força aplicada no ponto B: F = 200 N, dirigida a 45° acima da horizontal (sentido para a direita e para cima).
  • Coordenadas do ponto de aplicação (em relação a A): rB=200 mm i+100 mm j=0.200 m i+0.100 m j\mathbf{r}_B = 200\ \mathrm{mm}\,\mathbf{i} + 100\ \mathrm{mm}\,\mathbf{j} = 0.200\ \mathrm{m}\,\mathbf{i} + 0.100\ \mathrm{m}\,\mathbf{j}.
  • Vetor força (componentes): F=200cos⁡45∘ i+200sin⁡45∘ j=2002 i+2002 j N≈141.42 i+141.42 j N\mathbf{F} = 200\cos45^\circ\,\mathbf{i} + 200\sin45^\circ\,\mathbf{j} = \dfrac{200}{\sqrt{2}}\,\mathbf{i} + \dfrac{200}{\sqrt{2}}\,\mathbf{j}\ \mathrm{N}\approx 141.42\,\mathbf{i}+141.42\,\mathbf{j}\ \mathrm{N}.

Resposta

MA=+14,14 N\cdotpmM_A = +14{,}14\ \text{N·m} (sentido anti-horário, +k+\mathbf{k})

Explicação

Vamos calcular o momento de F\mathbf{F} em relação a AA por dois métodos e comparar.

1) Método das componentes (produto vetorial)

Dados (em metros):

  • Vetor posição do ponto de aplicação BB em relação a AA: rB=0,200 i+0,100 j m\mathbf{r}_B = 0{,}200\,\mathbf{i} + 0{,}100\,\mathbf{j}\ \text{m}
  • Força a 45∘45^\circ:
\frac{200}{\sqrt2}\,\mathbf{i}+\frac{200}{\sqrt2}\,\mathbf{j}\ \text{N}$$ Logo, $$F_x=F_y=\frac{200}{\sqrt2}\approx 141{,}42\ \text{N}$$ Momento em $A$ (componente em $\mathbf{k}$): $$\mathbf{M}_A = \mathbf{r}_B \times \mathbf{F}$$ Como $\mathbf{r}$ e $\mathbf{F}$ estão no plano $xy$: $$M_{A,z}=xF_y-yF_x$$ Substituindo $x=0{,}200$, $y=0{,}100$: $$M_{A,z}=0{,}200(141{,}42)-0{,}100(141{,}42)$$ $$M_{A,z}=141{,}42(0{,}100)=14{,}142\ \text{N·m}$$ Sinal positivo $\Rightarrow$ sentido anti-horário ($+\mathbf{k}$). ## 2) Método da alavanca perpendicular (distância perpendicular) O módulo do momento é $$|M_A|=F\,d_\perp$$ onde $d_\perp$ é a distância perpendicular de $A$ à linha de ação da força. Uma forma equivalente e direta é usar $$|M_A|=|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\,\sin\theta$$ com $\theta$ sendo o ângulo entre $\mathbf{r}_B$ e $\mathbf{F}$. - $|\mathbf{r}_B|=\sqrt{0{,}200^2+0{,}100^2}=\sqrt{0{,}05}=0{,}2236\ \text{m}$ - $|\mathbf{F}|=200\ \text{N}$ - Direção de $\mathbf{r}_B$: $\alpha=\arctan(0{,}100/0{,}200)=26{,}565^\circ$ - Direção de $\mathbf{F}$: $45^\circ$ Então, $$\theta=45^\circ-26{,}565^\circ=18{,}435^\circ$$ Momento: $$|M_A|=0{,}2236\cdot 200\cdot \sin(18{,}435^\circ)$$ Como $\sin(18{,}435^\circ)\approx 0{,}3162$: $$|M_A|\approx 0{,}2236\cdot 200\cdot 0{,}3162\approx 14{,}14\ \text{N·m}$$ O sentido é anti-horário (mesmo sinal do cálculo vetorial), portanto $M_A=+14{,}14\ \text{N·m}$. **Conclusão:** pelos dois métodos, o momento em relação a $A$ é $M_A=+14{,}14\ \text{N·m}$ (anti-horário, $+\mathbf{k}$).
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