1) Determine a faixa de valores de w pra os quais a tração não irá exceder a 1000N em qualquer dos cabos.

Vamos analisar o nó em $C$ (equilíbrio de uma partícula). Em $C$ atuam:

• Tração no cabo $CA$: $T_A$ ao longo de $\overrightarrow{CA}$.
• Tração no cabo $CB$: $T_B$ ao longo de $\overrightarrow{CB}$.
• Força aplicada de $680\,\text{N}$ fazendo $15^\circ$ acima da horizontal, apontando para a esquerda.
• Peso $W$ vertical para baixo.

1) Vetores-direção dos cabos (tomando $C$ como origem, $x$ para a direita e $y$ para cima):

• De $C$ até $A$: $(-300,\,400)$ mm. Módulo: $\sqrt{300^2+400^2}=500$. [\hat{u}_{CA}=\left(-\frac{300}{500},\frac{400}{500}\right)=(-0{,}6,,0{,}8)]
• De $C$ até $B$: $(750,\,400)$ mm. Módulo: $\sqrt{750^2+400^2}=850$. [\hat{u}_{CB}=\left(\frac{750}{850},\frac{400}{850}\right)=\left(\frac{15}{17},\frac{8}{17}\right)]

2) Componentes da força de 680 N Como aponta para a esquerda e $15^\circ$ acima da horizontal: [F_x=-680\cos15^\circ,\qquad F_y=+680\sin15^\circ]

3) Equilíbrio em $x$ e $y$ [\sum F_x=0:; (-0{,}6)T_A+\left(\frac{15}{17}\right)T_B-680\cos15^\circ=0] [\sum F_y=0:; (0{,}8)T_A+\left(\frac{8}{17}\right)T_B+680\sin15^\circ-W=0] Da 1ª equação: [\left(\frac{15}{17}\right)T_B=0{,}6T_A+680\cos15^\circ\Rightarrow T_B=\frac{17}{15}\Big(0{,}6T_A+680\cos15^\circ\Big)] Substituindo na 2ª: [ W=0{,}8T_A+\left(\frac{8}{17}\right)T_B+680\sin15^\circ =0{,}8T_A+\left(\frac{8}{15}\right)\Big(0{,}6T_A+680\cos15^\circ\Big)+680\sin15^\circ ] [ W=\underbrace{\left(0{,}8+\frac{8}{15}\cdot0{,}6\right)}_{=1{,}12}T_A+\frac{8}{15}\cdot680\cos15^\circ+680\sin15^\circ ] Numericamente ($\cos15^\circ\approx0{,}9659$, $\sin15^\circ\approx0{,}2588$): [W\approx 1{,}12T_A+\left(\frac{8}{15}\right)680(0{,}9659)+680(0{,}2588)] [W\approx 1{,}12T_A+350{,}2+176{,}0=1{,}12T_A+526{,}2] Logo: [T_A=\frac{W-526{,}2}{1{,}12}] E então [T_B=\frac{17}{15}\Big(0{,}6T_A+680\cos15^\circ\Big) =\frac{17}{15}\Big(0{,}6T_A+656{,}8\Big) =0{,}68T_A+744{,}4] Substituindo $T_A$: [T_B\approx 0{,}68\frac{W-526{,}2}{1{,}12}+744{,}4\approx 0{,}607W+424{,}8]

4) Restrições de tração e limite de 1000 N Como são cabos, não podem trabalhar em compressão, então: [T_A\ge0\Rightarrow W\ge526{,}2,\text{N}] [T_B\ge0\Rightarrow 0{,}607W+424{,}8\ge0\Rightarrow W\ge -700,\text{N};\text{(sempre verdadeiro para }W\ge0\text{)}] Agora o limite superior (não exceder 1000 N):

• $T_A\le1000$: [\frac{W-526{,}2}{1{,}12}\le1000\Rightarrow W\le1646{,}2,\text{N}]
• $T_B\le1000$: [0{,}607W+424{,}8\le1000\Rightarrow W\le\frac{575{,}2}{0{,}607}\approx947{,}5,\text{N}] A restrição mais severa é $W\le947{,}5\,\text{N}$.

5) Interseção das condições Para existir tração em ambos os cabos: $W\ge526{,}2\,\text{N}$. E para não exceder 1000 N em nenhum: $W\le947{,}5\,\text{N}$.

Portanto: [\boxed{526\ \text{N}\le W\le 948\ \text{N}}]

(Arredondado ao newton.)