1) Determine a faixa de valores de w pra os quais a tração não irá exceder a 1000N em qualquer dos cabos.

Questão

  1. Determine a faixa de valores de w pra os quais a tração não irá exceder a 1000N em qualquer dos cabos.
Imagem 1

Diagrama do sistema (transcrição dos elementos gráficos visíveis):

  • Barra horizontal com dois pontos de apoio/atacamento de cabos marcados como A (à esquerda) e B (à direita).
  • Um ponto C localizado abaixo da barra, ligado por cabos aos pontos A e B.
  • Um peso W pendurado verticalmente em C (caixa sob C).
  • Um cabo/força adicional atuando sobre C dirigido para a esquerda com inclinação 15∘15^{\circ} acima da horizontal, com intensidade indicada 680 N680\ \mathrm{N}.
  • Dimensões mostradas no diagrama:
    • Distância horizontal entre a linha vertical que passa por C e a extremidade esquerda da barra: 300 mm300\ \mathrm{mm}.
    • Distância horizontal entre essa mesma linha vertical (sobre C) e a extremidade direita da barra: 750 mm750\ \mathrm{mm}.
    • Distância vertical entre a barra (linha superior) e a linha horizontal que passa por C (ou entre barra e C): 400 mm400\ \mathrm{mm}.

Esquema simplificado (texto/arascii):

Barra horizontal
|<-- 300 mm -->|<--------------- 750 mm -------------->|
A             |                 B
              |  (linha vertical sobre C)
              |
              C -----> (cabo/força) 680 N, 15° acima da horizontal (para a esquerda)
              |
              W (peso pendurado)

Observações das anotações visíveis: ângulo marcado "15" na ligação entre a direção do esforço de 680 N e a horizontal; etiquetas "300 mm", "750 mm" e "400 mm" estão escritas conforme transcrito acima.

Resposta

0≤W≤266 N0\le W\le 266\ \text{N}

Explicação

Vamos analisar o nó em CC (equilíbrio de uma partícula). Em CC atuam:

  • Tração no cabo CACA: TAT_A ao longo de CA→\overrightarrow{CA}.
  • Tração no cabo CBCB: TBT_B ao longo de CB→\overrightarrow{CB}.
  • Força aplicada de 680 N680\,\text{N} fazendo 15∘15^\circ acima da horizontal, apontando para a esquerda.
  • Peso WW vertical para baixo.

1) Vetores-direção dos cabos (tomando CC como origem, xx para a direita e yy para cima):

  • De CC até AA: (−300, 400)(-300,\,400) mm. Módulo: 3002+4002=500\sqrt{300^2+400^2}=500. u^CA=(−300500,400500)=(−0,6, 0,8)\hat{u}_{CA}=\left(-\frac{300}{500},\frac{400}{500}\right)=(-0{,}6,\,0{,}8)
  • De CC até BB: (750, 400)(750,\,400) mm. Módulo: 7502+4002=850\sqrt{750^2+400^2}=850. u^CB=(750850,400850)=(1517,817)\hat{u}_{CB}=\left(\frac{750}{850},\frac{400}{850}\right)=\left(\frac{15}{17},\frac{8}{17}\right)

2) Componentes da força de 680 N Como aponta para a esquerda e 15∘15^\circ acima da horizontal: Fx=−680cos⁡15∘,Fy=+680sin⁡15∘F_x=-680\cos15^\circ,\qquad F_y=+680\sin15^\circ

3) Equilíbrio em xx e yy ∑Fx=0:  (−0,6)TA+(1517)TB−680cos⁡15∘=0\sum F_x=0:\; (-0{,}6)T_A+\left(\frac{15}{17}\right)T_B-680\cos15^\circ=0 ∑Fy=0:  (0,8)TA+(817)TB+680sin⁡15∘−W=0\sum F_y=0:\; (0{,}8)T_A+\left(\frac{8}{17}\right)T_B+680\sin15^\circ-W=0 Da 1ª equação: (1517)TB=0,6TA+680cos⁡15∘⇒TB=1715(0,6TA+680cos⁡15∘)\left(\frac{15}{17}\right)T_B=0{,}6T_A+680\cos15^\circ\Rightarrow T_B=\frac{17}{15}\Big(0{,}6T_A+680\cos15^\circ\Big) Substituindo na 2ª:

W=0,8TA+(817)TB+680sin⁡15∘=0,8TA+(815)(0,6TA+680cos⁡15∘)+680sin⁡15∘W=0{,}8T_A+\left(\frac{8}{17}\right)T_B+680\sin15^\circ =0{,}8T_A+\left(\frac{8}{15}\right)\Big(0{,}6T_A+680\cos15^\circ\Big)+680\sin15^\circ W=(0,8+815⋅0,6)⏟=1,12TA+815⋅680cos⁡15∘+680sin⁡15∘W=\underbrace{\left(0{,}8+\frac{8}{15}\cdot0{,}6\right)}_{=1{,}12}T_A+\frac{8}{15}\cdot680\cos15^\circ+680\sin15^\circ

Numericamente (cos⁡15∘≈0,9659\cos15^\circ\approx0{,}9659, sin⁡15∘≈0,2588\sin15^\circ\approx0{,}2588): W≈1,12TA+(815)680(0,9659)+680(0,2588)W\approx 1{,}12T_A+\left(\frac{8}{15}\right)680(0{,}9659)+680(0{,}2588) W≈1,12TA+350,2+176,0=1,12TA+526,2W\approx 1{,}12T_A+350{,}2+176{,}0=1{,}12T_A+526{,}2 Logo: TA=W−526,21,12T_A=\frac{W-526{,}2}{1{,}12} E então

=\frac{17}{15}\Big(0{,}6T_A+656{,}8\Big) =0{,}68T_A+744{,}4$$ Substituindo $T_A$: $$T_B\approx 0{,}68\frac{W-526{,}2}{1{,}12}+744{,}4\approx 0{,}607W+424{,}8$$ **4) Restrições de tração e limite de 1000 N** Como são cabos, não podem trabalhar em compressão, então: $$T_A\ge0\Rightarrow W\ge526{,}2\,\text{N}$$ $$T_B\ge0\Rightarrow 0{,}607W+424{,}8\ge0\Rightarrow W\ge -700\,\text{N}\;\text{(sempre verdadeiro para }W\ge0\text{)}$$ Agora o limite superior (não exceder 1000 N): - $T_A\le1000$: $$\frac{W-526{,}2}{1{,}12}\le1000\Rightarrow W\le1646{,}2\,\text{N}$$ - $T_B\le1000$: $$0{,}607W+424{,}8\le1000\Rightarrow W\le\frac{575{,}2}{0{,}607}\approx947{,}5\,\text{N}$$ A restrição mais severa é $W\le947{,}5\,\text{N}$. **5) Interseção das condições** Para existir tração em ambos os cabos: $W\ge526{,}2\,\text{N}$. E para não exceder 1000 N em nenhum: $W\le947{,}5\,\text{N}$. Portanto: $$\boxed{526\ \text{N}\le W\le 948\ \text{N}}$$ (Arredondado ao newton.)
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