Você está numa festa num lugar aberto escutando uma música bem animada. Sem querer, alguém esbarra no aparelho de som e diminui o volume de modo que a intensidade sonora na escala decibel fica em torno de 70 dB, considerando o lugar que você escolheu para ficar com seus colegas na festa. Felizmente, o aparelho de som possui uma função que memoriza a última posição do botão de volume, sendo esta em 85 dB. Um de seus colegas decide ir até o aparelho de som para voltar o botão de volume para a posição anterior. Com base na intensidade sonora para o limiar da audição humana I0 = 10^-12 W/m^2 qual é o valor correspondente em W/m^2 para os valores da escala decibel informados no enunciado e por qual fator n = I_max / I_min aproximadamente difere uma intensidade da outra? Chame de I_max a intensidade sonora para 85 dB e I_min a intensidade sonora para 70 dB.

Questão

Você está numa festa num lugar aberto escutando uma música bem animada. Sem querer, alguém esbarra no aparelho de som e diminui o volume de modo que a intensidade sonora na escala decibel fica em torno de 70 dB, considerando o lugar que você escolheu para ficar com seus colegas na festa. Felizmente, o aparelho de som possui uma função que memoriza a última posição do botão de volume, sendo esta em 85 dB. Um de seus colegas decide ir até o aparelho de som para voltar o botão de volume para a posição anterior.

Com base na intensidade sonora para o limiar da audição humana I0 = 10^-12 W/m^2 qual é o valor correspondente em W/m^2 para os valores da escala decibel informados no enunciado e por qual fator n = I_max / I_min aproximadamente difere uma intensidade da outra?

Chame de I_max a intensidade sonora para 85 dB e I_min a intensidade sonora para 70 dB.

Alternativas

a) I_min = 10^-2 W/m^2 , I_max = 10^-5 W/m^2 e n ≈ 1,2.

b) I_min = 10^-5 W/m^2 , I_max = 10^-3,5 W/m^2 e n ≈ 1,2.

c) I_min = 10^-3,5 W/m^2 , I_max = 10^-5 W/m^2 e n ≈ 32.

Resposta certa

d) I_min = 10^-5 W/m^2 , I_max = 10^-3,5 W/m^2 e n ≈ 32.

e) I_min = 10^-3 W/m^2 , I_max = 10^-5 W/m^2 e n ≈ 1,2.

Explicação

Pela definição do nível sonoro (em decibéis):

β=10 log⁡10(II0)\beta = 10\,\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)

Logo,

II0=10β/10⇒I=I0 10β/10\frac{I}{I_0}=10^{\beta/10}\quad\Rightarrow\quad I = I_0\,10^{\beta/10}

Dado I0=10−12 W/m2I_0 = 10^{-12}\,\text{W/m}^2:

  1. Para 70 dB70\,\text{dB} (isto é, β=70\beta=70):

Imin⁡=10−12⋅1070/10=10−12⋅107=10−5 W/m2I_{\min}=10^{-12}\cdot 10^{70/10}=10^{-12}\cdot 10^{7}=10^{-5}\,\text{W/m}^2

  1. Para 85 dB85\,\text{dB} (isto é, β=85\beta=85):

Imax⁡=10−12⋅1085/10=10−12⋅108,5=10−3,5 W/m2I_{\max}=10^{-12}\cdot 10^{85/10}=10^{-12}\cdot 10^{8,5}=10^{-3,5}\,\text{W/m}^2

Agora o fator pedido:

n=Imax⁡Imin⁡=10−3,510−5=101,5≈31,6≈32n=\frac{I_{\max}}{I_{\min}}=\frac{10^{-3,5}}{10^{-5}}=10^{1,5}\approx 31,6\approx 32

Assim, Imin⁡=10−5 W/m2I_{\min}=10^{-5}\,\text{W/m}^2, Imax⁡=10−3,5 W/m2I_{\max}=10^{-3,5}\,\text{W/m}^2 e n≈32n\approx 32.

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