Uma onda sonora de frequência f = 1000 Hz se propaga pelo ar com intensidade média I = 10^{-11} W/m^2 e com velocidade v = 344 m/s, provocando oscilações no tímpano de um ouvinte. A densidade do ar no ambiente em que o ouvinte está vale ρ = 1,2 kg/m^3 e o módulo de compressibilidade é B = 1,4 × 10^5 Pa. Uma fonoaudióloga está realizando alguns testes de audiometria e ela pretende determinar alguns parâmetros para uma pesquisa para compor um artigo médico na área em que atua. Com base nessas informações, a fonoaudióloga precisa determinar a amplitude de deslocamento aproximada da onda sonora, a qual está relacionada às oscilações provocadas no tímpano do ouvinte, bem como a amplitude de pressão da onda. Determine qual resposta apresenta corretamente os valores calculados pela fonoaudióloga.
Questão
Uma onda sonora de frequência f = 1000 Hz se propaga pelo ar com intensidade média I = 10^{-11} W/m^2 e com velocidade v = 344 m/s, provocando oscilações no tímpano de um ouvinte. A densidade do ar no ambiente em que o ouvinte está vale ρ = 1,2 kg/m^3 e o módulo de compressibilidade é B = 1,4 × 10^5 Pa. Uma fonoaudióloga está realizando alguns testes de audiometria e ela pretende determinar alguns parâmetros para uma pesquisa para compor um artigo médico na área em que atua. Com base nessas informações, a fonoaudióloga precisa determinar a amplitude de deslocamento aproximada da onda sonora, a qual está relacionada às oscilações provocadas no tímpano do ouvinte, bem como a amplitude de pressão da onda.
Determine qual resposta apresenta corretamente os valores calculados pela fonoaudióloga.
Alternativas
a) A ≈ 235 × 10^{-12} m e P_{máx} ≈ 190 × 10^{-6} Pa
b) A ≈ 35 × 10^{-12} m e P_{máx} ≈ 90 × 10^{-6} Pa
c) A ≈ 3 × 10^{-12} m e P_{máx} ≈ 9 × 10^{-6} Pa
d) A ≈ 30 × 10^{-12} m e P_{máx} ≈ 95 × 10^{-6} Pa
e) A ≈ 25 × 10^{-12} m e P_{máx} ≈ 75 × 10^{-6} Pa
Explicação
Passo 1: Relacionar intensidade com amplitude de pressão Para uma onda sonora plana harmônica, a intensidade média vale Logo, Substituindo , e :
=\sqrt{825{,}6\cdot 10^{-11}} =\sqrt{8{,}256\cdot 10^{-9}}.$$ Como $\sqrt{8{,}256}\approx 2{,}87$ e $\sqrt{10^{-9}}=10^{-4{,}5}$, $$p_{\max}\approx 2{,}87\times 3{,}16\times 10^{-5}\approx 9{,}1\times 10^{-5}\,\text{Pa} \approx 90\times 10^{-6}\,\text{Pa}.$$ Passo 2: Obter a amplitude de deslocamento $A$ Para onda sonora harmônica, a relação entre pressão e deslocamento é $$p_{\max}=B\,k\,A,$$ onde $k=\frac{\omega}{v}=\frac{2\pi f}{v}$. Então, $$A=\frac{p_{\max}}{B\,k}=\frac{p_{\max}}{B\,(2\pi f/v)}=\frac{p_{\max}\,v}{B\,2\pi f}.$$ Com $p_{\max}\approx 9{,}1\times 10^{-5}\,\text{Pa}$, $v=344\,\text{m/s}$, $B=1{,}4\times 10^{5}\,\text{Pa}$ e $f=1000\,\text{Hz}$: $$A\approx \frac{9{,}1\times 10^{-5}\cdot 344}{(1{,}4\times 10^{5})\cdot 2\pi\cdot 1000}.$$ Numerador: $9{,}1\times 10^{-5}\cdot 344\approx 3{,}13\times 10^{-2}$. Denominador: $1{,}4\times 10^{5}\cdot 2\pi\cdot 1000\approx 1{,}4\times 10^{5}\cdot 6{,}283\times 10^{3}\approx 8{,}80\times 10^{8}$. Assim, $$A\approx \frac{3{,}13\times 10^{-2}}{8{,}80\times 10^{8}}\approx 3{,}6\times 10^{-11}\,\text{m} \approx 35\times 10^{-12}\,\text{m}.$$ Conclusão: $A\approx 35\times 10^{-12}\,\text{m}$ e $p_{\max}\approx 90\times 10^{-6}\,\text{Pa}$. Alternativa correta: (b).