Um projéctil de massa 12 g é disparado horizontalmente sobre um bloco de madeira de 2,5 kg, que se encontrava em repouso, suspenso através de um fio inextensível de comprimento 2 m e massa desprezável. Após a colisão, o projéctil fica incrustado no bloco e o conjunto sobe até uma determinada altura acima da posição de equilíbrio (α = 30°). Considerando a colisão inelástica e a resistência do ar desprezável, calcule: a) A velocidade com que o projéctil embate no bloco. b) A variação da energia mecânica do sistema. (g = 9,8 m/s²)

Dados:

• Massa do projétil: $m=12\,\text{g}=0{,}012\,\text{kg}$
• Massa do bloco: $M=2{,}5\,\text{kg}$
• Comprimento do fio: $L=2\,\text{m}$
• Ângulo máximo após colisão: $\alpha=30^\circ$
• $g=9{,}8\,\text{m/s}^2$
• Após a colisão, o projétil fica incrustado: massa total $M_T=M+m=2{,}512\,\text{kg}$.

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1) Altura atingida pelo conjunto

Do pêndulo, a elevação vertical ao ir de $0$ a $\alpha$ é:

$$h=L(1-\cos\alpha).$$

Logo,

$$h=2\,(1-\cos 30^\circ)=2\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\approx 2(1-0{,}8660)=0{,}268\,\text{m}.$$

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2) Velocidade imediatamente após a colisão

Da conservação de energia mecânica após a colisão (subida sem perdas):

$$\frac12 M_T V^2 = M_T g h \;\Rightarrow\; V=\sqrt{2gh}.$$

Então,

$$V=\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}268}\approx \sqrt{5{,}25}\approx 2{,}29\,\text{m/s}.$$

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3) (a) Velocidade do projétil ao atingir o bloco

Na colisão inelástica, conserva-se a quantidade de movimento horizontal:

$$m v = (M+m)V.$$

Portanto,

$$v=\frac{M+m}{m}V=\frac{2{,}512}{0{,}012}\cdot 2{,}29 \approx 209{,}33\cdot 2{,}29\approx 4{,}79\times 10^2\,\text{m/s}.$$

Resultado:

$$\boxed{v\approx 4{,}79\times 10^2\,\text{m/s}}.$$

Observação: este é o valor coerente para um pêndulo balístico com esses dados.

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4) (b) Variação da energia mecânica do sistema (na colisão)

A energia mecânica antes da colisão (tomando $U=0$ na posição de equilíbrio e bloco em repouso) é só a energia cinética do projétil:

$$E_i=\frac12 m v^2.$$

A energia mecânica logo após a colisão é a cinética do conjunto:

$$E_f=\frac12 (M+m)V^2.$$

A variação na colisão:

$$\Delta E_\text{mec}=E_f-E_i.$$

Calculando:

$$E_f=\frac12\cdot 2{,}512\cdot (2{,}29)^2\approx 0{,}5\cdot 2{,}512\cdot 5{,}25\approx 6{,}59\,\text{J}.$$ $$E_i=\frac12\cdot 0{,}012\cdot (479)^2\approx 0{,}006\cdot 229441\approx 1376{,}6\,\text{J}.$$

Logo,

$$\Delta E_\text{mec}\approx 6{,}59-1376{,}6\approx -1{,}37\times 10^3\,\text{J}.$$

Resultado:

$$\boxed{\Delta E_\text{mec}\approx -1{,}37\times 10^3\,\text{J}}.$$

O sinal negativo indica perda de energia mecânica (dissipada em deformações, calor, som) durante a colisão inelástica.

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Alternativa correta: (sem alternativas).