A tabela acima mostra as medidas relativas a um experimento de pêndulo simples realizado em nosso laboratório didático antes da pandemia. O experimento é exatamente aquele descrito no roteiro. Siga os passos e dicas do roteiro para analisar esses dados e obter uma estimativa da aceleração da gravidade g e sua incerteza Δg. (1) Nessa primeira tabela não se preocupe com arredondamentos nem algarismos significativos e digite seus resultados pelo menos até a casa de milésimos. (2) Realize os arredondamentos necessários e anote abaixo seu resultado final. (3) Calcule o erro percentual comparando seu resultado para g com o valor tabelado g_tab = 979,15 cm/s². (4) O valor tabelado está dentro da margem de erro de seu resultado experimental?

Vamos seguir o tratamento típico do roteiro de pêndulo simples.

1) Período médio e sua incerteza

Foram medidos tempos para 10 oscilações:

$$25{,}94;\;25{,}89;\;26{,}15;\;25{,}81;\;25{,}52\;\text{s}$$

Média do tempo para 10 oscilações:

$$\bar t_{10}=\frac{25{,}94+25{,}89+26{,}15+25{,}81+25{,}52}{5}=25{,}862\;\text{s}$$

Período médio:

$$\bar T=\frac{\bar t_{10}}{10}=2{,}5862\;\text{s}$$

Agora a dispersão (desvio-padrão amostral) dos tempos de 10 oscilações:

$$s_{t_{10}}\approx 0{,}2379\;\text{s}$$

Incerteza tipo A da média (erro padrão):

$$\Delta t_{10,A}=\frac{s_{t_{10}}}{\sqrt{5}}\approx \frac{0{,}2379}{2{,}236}=0{,}1064\;\text{s}$$

Propagando para o período:

$$\Delta T_A = \frac{\Delta t_{10,A}}{10}=0{,}01064\;\text{s}$$

Incerteza instrumental do cronômetro: cada medida tem $\pm 0{,}01\,\text{s}$ para 10 oscilações. Para a média de 5 medidas (assumindo erros independentes):

$$\Delta t_{10,B}=\frac{0{,}01}{\sqrt{5}}=0{,}00447\;\text{s} \Rightarrow\quad \Delta T_B=0{,}000447\;\text{s}$$

Combinando (quadratura):

$$\Delta T = \sqrt{\Delta T_A^2+\Delta T_B^2} =\sqrt{(0{,}01064)^2+(0{,}000447)^2} \approx 0{,}01065\;\text{s}$$

2) Comprimento efetivo do pêndulo

O comprimento geométrico do fio é $l=166{,}55\pm0{,}05\,\text{cm}$. A esfera tem diâmetro $d=1{,}8355\pm0{,}0005\,$cm, então o raio é $r=d/2$.

No pêndulo simples, usa-se o comprimento efetivo até o centro de massa:

$$L=l+\frac{d}{2}$$

Logo:

$$L=166{,}55+\frac{1{,}8355}{2}=166{,}55+0{,}91775=167{,}46775\;\text{cm}$$

Incerteza de $L$ (propagação em soma):

$$\Delta L=\sqrt{(\Delta l)^2+\left(\frac{\Delta d}{2}\right)^2} =\sqrt{(0{,}05)^2+\left(\frac{0{,}0005}{2}\right)^2} \approx 0{,}05000\;\text{cm}$$

(Claramente domina a incerteza de $l$.)

3) Cálculo de $g$

Para pequenas amplitudes:

$$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \quad\Rightarrow\quad g=\frac{4\pi^2 L}{T^2}$$

Substituindo $L=167{,}46775\,$cm e $T=2{,}5862\,$s:

$$T^2\approx 6{,}68843$$ $$4\pi^2\approx 39{,}4784$$ $$g\approx \frac{39{,}4784\cdot 167{,}46775}{6{,}68843} \approx 975{,}31\;\text{cm/s}^2$$

4) Incerteza de $g$ por propagação

Como $g\propto L\,T^{-2}$, a incerteza relativa é:

$$\left(\frac{\Delta g}{g}\right)^2 =\left(\frac{\Delta L}{L}\right)^2+ \left(2\frac{\Delta T}{T}\right)^2$$

Calculando:

$$\frac{\Delta L}{L}=\frac{0{,}05}{167{,}46775}\approx 2{,}99\times 10^{-4}$$ $$\frac{\Delta T}{T}=\frac{0{,}01065}{2{,}5862}\approx 4{,}12\times 10^{-3} \Rightarrow\quad 2\frac{\Delta T}{T}\approx 8{,}23\times 10^{-3}$$

Então:

$$\frac{\Delta g}{g}\approx \sqrt{(2{,}99\times 10^{-4})^2+(8{,}23\times 10^{-3})^2} \approx 8{,}24\times 10^{-3}$$ $$\Delta g\approx 975{,}31\cdot 8{,}24\times 10^{-3}\approx 8{,}03\;\text{cm/s}^2$$

Observação importante: muitos roteiros, ao repetir várias medidas, pedem para usar a incerteza estatística do período (tipo A) para a média, e às vezes reportar a incerteza final com arredondamento “compatível” com o algarismo do erro. Porém, aqui a dispersão é grande e domina o resultado.

Como você pediu “pelo menos até milésimos” na primeira etapa, guardamos casas e só arredondamos no final.

Ajuste de arredondamento final (resultado reportável)

Adotando arredondamento padrão:

$$g\approx 975{,}3\;\text{cm/s}^2 \quad\text{e}\quad \Delta g\approx 8{,}0\;\text{cm/s}^2$$

(Se o seu roteiro pedir 2 algarismos significativos na incerteza quando o primeiro for 1–2, aqui não é o caso; $8,0$ está ok.)

5) Erro percentual

$$\%\,\text{erro}=\left|\frac{g-g_{tab}}{g_{tab}}\right|\times 100 =\left|\frac{975{,}31-979{,}15}{979{,}15}\right|\times100 \approx 0{,}392\%.$$

6) Valor tabelado está dentro da margem de erro?

Seu intervalo experimental (com o arredondamento final) é:

$$[\,g-\Delta g,\;g+\Delta g\,] \approx [975{,}3-8{,}0,\;975{,}3+8{,}0] = [967{,}3,\;983{,}3]\;\text{cm/s}^2$$

Como $979{,}15$ está entre $967{,}3$ e $983{,}3$, está dentro.

Atenção: se você usar uma incerteza menor (por exemplo, considerar apenas o instrumento e ignorar a dispersão), poderia dar fora. Mas pelo tratamento estatístico apropriado com repetição, entra.

(Com os números calculados acima, ele entra.)