Determine o ângulo entre as retas r1 e r2 de equações

Pelas equações paramétricas, os vetores diretores são

• Para $r_1: \; x=9+t,\; y=4+3t,\; z=12+8t \Rightarrow \vec v_1=(1,3,8)$.
• Para $r_2: \; x=5+6t,\; y=4-2t,\; z=-1+t \Rightarrow \vec v_2=(6,-2,1)$.

O ângulo $\theta$ entre as retas é o ângulo entre os vetores diretores:

$$\cos\theta=\frac{|\vec v_1\cdot \vec v_2|}{\|\vec v_1\|\,\|\vec v_2\|}.$$

Produto escalar:

$$\vec v_1\cdot \vec v_2 = 1\cdot 6 + 3\cdot(-2) + 8\cdot 1 = 6-6+8=8.$$

Normas:

$$\|\vec v_1\|=\sqrt{1^2+3^2+8^2}=\sqrt{74},\qquad \|\vec v_2\|=\sqrt{6^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{41}.$$

Logo,

$$\cos\theta=\frac{8}{\sqrt{74}\,\sqrt{41}}=\frac{8}{\sqrt{3034}}\approx 0{,}1452.$$

Então,

$$\theta\approx \arccos(0{,}1452)\approx 81{,}65^\circ.$$