Considere a função de utilidade U = 5 A^{0,75} B^{0,25}, os preços do bem A e B são 750 e 375 Mt, respectivamente, e o rendimento do consumidor Marcelito é de 3.000 Mt. a) Determine e interprete a taxa marginal de substituição de B por A consumindo 10 unidades de B e 5 unidades de A. b) Será que no ponto de equilíbrio teremos a mesma taxa? Justifique a sua resposta. c) Derive analiticamente as funções de procura marshalliana dos dois bens. d) Determine o ponto onde Marcelito maximiza a satisfação e qual é a satisfação máxima atingida. e) Se o preço do bem A baixar para 375 Mt, mantendo o preço do bem B e o rendimento constantes, calcule o novo equilíbrio e a utilidade máxima alcançada. f) Derive graficamente a curva da procura do bem A. g) Calcule a variação da utilidade e do rendimento real como resultado da diminuição do preço do bem A (usando os 2 métodos: de Hicks e de Slutsky) e tire as suas conclusões sobre o bem-estar do Marcelito. h) Calcule o efeito substituição e efeito rendimento dessa diminuição do preço do bem A usando os dois métodos da pergunta anterior.

Temos uma utilidade Cobb-Douglas:

$$U(A,B)=5A^{0,75}B^{0,25},\quad p_A=750,\; p_B=375,\; M=3000.$$

a) TMS de B por A em $B=10$ e $A=5$

A TMS (marginal) de B por A é a quantidade de $B$ que o consumidor aceita ceder para obter 1 unidade a mais de A, mantendo $U$ constante:

$$\text{TMS}_{B\text{ por }A} \equiv -\frac{dB}{dA}\Big|_{U} = \frac{MU_A}{MU_B}.$$

Derivadas marginais:

$$MU_A=\frac{\partial U}{\partial A}=5\cdot 0,75\,A^{-0,25}B^{0,25}=3,75\,A^{-0,25}B^{0,25}$$ $$MU_B=\frac{\partial U}{\partial B}=5\cdot 0,25\,A^{0,75}B^{-0,75}=1,25\,A^{0,75}B^{-0,75}$$

Logo:

$$\frac{MU_A}{MU_B}= \frac{3,75\,A^{-0,25}B^{0,25}}{1,25\,A^{0,75}B^{-0,75}} =3\,A^{-1}B^{1} = 3\frac{B}{A}.$$

No ponto $(A,B)=(5,10)$:

$$\text{TMS}_{B\text{ por }A}=3\frac{10}{5}=6.$$

Interpretação: nesse cabaz, Marcelito está disposto a abrir mão de aproximadamente 6 unidades de B para obter 1 unidade adicional de A, mantendo a utilidade constante.

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b) No equilíbrio a TMS será a mesma? Justifique

No ótimo interior (Cobb-Douglas com ambos bens consumidos), vale a condição tangência:

$$\text{TMS}_{B\text{ por }A}=\frac{p_A}{p_B}.$$

Aqui:

$$\frac{p_A}{p_B}=\frac{750}{375}=2.$$

No ponto $(5,10)$ achamos TMS = 6, que não é 2. Logo $(5,10)$ não é equilíbrio.

No equilíbrio, a TMS será 2 (com estes preços), porque o consumidor ajusta $A,B$ até o trade-off marginal (preferências) igualar o trade-off de mercado (preços relativos).

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c) Funções de procura marshalliana (demanda) de A e B

Para Cobb-Douglas $U=k A^{\alpha}B^{1-\alpha}$, a demanda marshalliana (ótimo com restrição orçamentária) é:

$$A^*(p_A,p_B,M)=\alpha\frac{M}{p_A},\qquad B^*(p_A,p_B,M)=(1-\alpha)\frac{M}{p_B}.$$

Aqui $\alpha=0,75$ e $1-\alpha=0,25$. Portanto:

$$A^*(p_A,M)=0,75\frac{M}{p_A},\qquad B^*(p_B,M)=0,25\frac{M}{p_B}.$$

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d) Equilíbrio inicial e utilidade máxima

Com $M=3000$:

$$A_0=0,75\frac{3000}{750}=0,75\cdot 4=3$$ $$B_0=0,25\frac{3000}{375}=0,25\cdot 8=2$$

Logo, o cabaz ótimo inicial é:

$$(A_0,B_0)=(3,2).$$

Utilidade máxima inicial:

$$U_0=5\cdot 3^{0,75}\cdot 2^{0,25}.$$

Valor numérico (aprox.):

• $3^{0,75}\approx 2,2795$
• $2^{0,25}\approx 1,1892$

$$U_0\approx 5\cdot 2,2795\cdot 1,1892\approx 13,55.$$

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e) Novo equilíbrio se $p_A$ cair para 375 (com $p_B$ e $M$ constantes)

Novo preço: $p_A'=375$, $p_B=375$, $M=3000$.

Demandas marshallianas:

$$A_1=0,75\frac{3000}{375}=0,75\cdot 8=6$$ $$B_1=0,25\frac{3000}{375}=0,25\cdot 8=2$$

Novo ótimo:

$$(A_1,B_1)=(6,2).$$

Nova utilidade máxima:

$$U_1=5\cdot 6^{0,75}\cdot 2^{0,25}.$$

Aproximando:

• $6^{0,75}\approx 3,833$
• $2^{0,25}\approx 1,1892$

$$U_1\approx 5\cdot 3,833\cdot 1,1892\approx 22,79.$$

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f) Curva de procura (demanda) do bem A (graficamente)

A demanda marshalliana de A é:

$$A(p_A)=0,75\frac{M}{p_A}.$$

Com $M=3000$:

$$A(p_A)=\frac{2250}{p_A}.$$

Como desenhar: no plano $(p_A, A)$, é uma hipérbole decrescente. Pontos úteis:

• Se $p_A=750$, $A=2250/750=3$
• Se $p_A=375$, $A=2250/375=6$

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g) Variação de utilidade e do rendimento real (Hicks e Slutsky) e bem-estar

A queda do preço de $A$ aumenta o conjunto orçamental, então o bem-estar aumenta: $U_1>U_0$ (de ~13,55 para ~22,79).

Agora, “rendimento real” via decomposições:

1) Método de Slutsky (compensação pelo poder de compra do cabaz inicial)

Rendimento compensado de Slutsky:

$$M^S = p_A' A_0 + p_B B_0 = 375\cdot 3 + 375\cdot 2 =1125+750=1875.$$

Esse é o rendimento que permitiria comprar o cabaz antigo $(3,2)$ aos novos preços.

Demanda (com preços novos e renda $M^S$):

$$A^S=0,75\frac{1875}{375}=0,75\cdot 5=3,75$$ $$B^S=0,25\frac{1875}{375}=0,25\cdot 5=1,25$$

Efeito substituição (Slutsky):

$$ES_S = A^S - A_0 = 3,75-3=0,75$$

Efeito rendimento (Slutsky):

$$ER_S = A_1 - A^S = 6-3,75=2,25$$

Como ambos são positivos, $A$ é bem normal.

Rendimento real (Slutsky): ganho de poder de compra para manter o cabaz antigo custa menos:

$$\Delta M_{real}^S = M - M^S = 3000-1875=1125.$$

2) Método de Hicks (compensação para manter a utilidade inicial)

Precisamos do gasto mínimo para atingir $U_0$ aos preços novos $(p_A',p_B)=(375,375)$.

Para Cobb-Douglas, a demanda hicksiana (condicional) mantém as mesmas parcelas de gasto: $p_A A =0,75E$, $p_B B=0,25E$, onde $E$ é a despesa mínima. Logo:

$$A^H=0,75\frac{E}{p_A'},\qquad B^H=0,25\frac{E}{p_B}.$$

Substituindo na utilidade:

$$U_0 = 5\left(0,75\frac{E}{p_A'}\right)^{0,75}\left(0,25\frac{E}{p_B}\right)^{0,25} =5\cdot (0,75^{0,75}0,25^{0,25})\cdot E\cdot (p_A'^{-0,75}p_B^{-0,25}).$$

Então:

$$E = \frac{U_0}{5\cdot 0,75^{0,75}0,25^{0,25}}\; p_A'^{0,75}p_B^{0,25}.$$

Como $p_A'=p_B=375$, fica $p_A'^{0,75}p_B^{0,25}=375$. Além disso, $0,75^{0,75}0,25^{0,25}\approx 0,5699$. E $U_0\approx 13,55$. Logo:

$$E \approx \frac{13,55\cdot 375}{5\cdot 0,5699}\approx 1783{,}5.$$

Assim o “rendimento real” (Hicks) ganho pela queda de preço, em termos de quanto renda poderia ser tirada mantendo $U_0$:

$$\Delta M_{real}^H = M - E \approx 3000-1783{,}5=1216{,}5.$$

Demanda hicksiana (para manter $U_0$ com preços novos):

$$A^H=0,75\frac{1783,5}{375}\approx 3,567$$ $$B^H=0,25\frac{1783,5}{375}\approx 1,189.$$

Efeito substituição (Hicks):

$$ES_H = A^H - A_0 \approx 3,567-3=0,567.$$

Efeito rendimento (Hicks):

$$ER_H = A_1 - A^H \approx 6-3,567=2,433.$$

Conclusão de bem-estar: a queda de $p_A$ eleva a utilidade máxima ($U_1>U_0$) e gera ganho de rendimento real (tanto por Hicks quanto por Slutsky). Logo Marcelito fica melhor.

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h) Efeito substituição e efeito rendimento (pelos dois métodos)

Organizando os resultados para o bem $A$:

Slutsky

• $A_0=3$
• $A^S=3,75$
• $A_1=6$

$$ES_S=0,75,\qquad ER_S=2,25.$$

Hicks

• $A_0=3$
• $A^H\approx 3,567$
• $A_1=6$

$$ES_H\approx 0,567,\qquad ER_H\approx 2,433.$$

Ambos os métodos mostram:

• Efeito substituição positivo (A ficou relativamente mais barato).
• Efeito rendimento positivo (como $A$ é normal, mais “renda real” aumenta consumo de A).

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Se você quiser, eu também posso (i) montar um esboço de gráfico para a curva de demanda de $A$ e (ii) representar graficamente as decomposições de Hicks e Slutsky no plano $(A,B)$ com as retas orçamentárias.