Considere a função de utilidade U = 5 A^{0,75} B^{0,25}, os preços do bem A e B são 750 e 375 Mt, respectivamente, e o rendimento do consumidor Marcelito é de 3.000 Mt. a) Determine e interprete a taxa marginal de substituição de B por A consumindo 10 unidades de B e 5 unidades de A. b) Será que no ponto de equilíbrio teremos a mesma taxa? Justifique a sua resposta. c) Derive analiticamente as funções de procura marshalliana dos dois bens. d) Determine o ponto onde Marcelito maximiza a satisfação e qual é a satisfação máxima atingida. e) Se o preço do bem A baixar para 375 Mt, mantendo o preço do bem B e o rendimento constantes, calcule o novo equilíbrio e a utilidade máxima alcançada. f) Derive graficamente a curva da procura do bem A. g) Calcule a variação da utilidade e do rendimento real como resultado da diminuição do preço do bem A (usando os 2 métodos: de Hicks e de Slutsky) e tire as suas conclusões sobre o bem-estar do Marcelito. h) Calcule o efeito substituição e efeito rendimento dessa diminuição do preço do bem A usando os dois métodos da pergunta anterior.

Temos uma utilidade Cobb-Douglas: [ U(A,B)=5A^{0,75}B^{0,25},\quad p_A=750,; p_B=375,; M=3000. ]

a) TMS de B por A em (B=10) e (A=5)

A TMS (marginal) de B por A é a quantidade de (B) que o consumidor aceita ceder para obter 1 unidade a mais de A, mantendo (U) constante: [ \text{TMS}{B\text{ por }A} \equiv -\frac{dB}{dA}\Big|{U} = \frac{MU_A}{MU_B}. ]

Derivadas marginais: [ MU_A=\frac{\partial U}{\partial A}=5\cdot 0,75,A^{-0,25}B^{0,25}=3,75,A^{-0,25}B^{0,25} ] [ MU_B=\frac{\partial U}{\partial B}=5\cdot 0,25,A^{0,75}B^{-0,75}=1,25,A^{0,75}B^{-0,75} ]

Logo: [ \frac{MU_A}{MU_B}= \frac{3,75,A^{-0,25}B^{0,25}}{1,25,A^{0,75}B^{-0,75}} =3,A^{-1}B^{1} = 3\frac{B}{A}. ]

No ponto ((A,B)=(5,10)): [ \text{TMS}_{B\text{ por }A}=3\frac{10}{5}=6. ] Interpretação: nesse cabaz, Marcelito está disposto a abrir mão de aproximadamente 6 unidades de B para obter 1 unidade adicional de A, mantendo a utilidade constante.

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b) No equilíbrio a TMS será a mesma? Justifique

No ótimo interior (Cobb-Douglas com ambos bens consumidos), vale a condição tangência: [ \text{TMS}_{B\text{ por }A}=\frac{p_A}{p_B}. ] Aqui: [ \frac{p_A}{p_B}=\frac{750}{375}=2. ] No ponto ((5,10)) achamos TMS = 6, que não é 2. Logo ((5,10)) não é equilíbrio.

No equilíbrio, a TMS será 2 (com estes preços), porque o consumidor ajusta (A,B) até o trade-off marginal (preferências) igualar o trade-off de mercado (preços relativos).

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c) Funções de procura marshalliana (demanda) de A e B

Para Cobb-Douglas (U=k A^{\alpha}B^{1-\alpha}), a demanda marshalliana (ótimo com restrição orçamentária) é: [ A^(p_A,p_B,M)=\alpha\frac{M}{p_A},\qquad B^(p_A,p_B,M)=(1-\alpha)\frac{M}{p_B}. ] Aqui (\alpha=0,75) e (1-\alpha=0,25). Portanto: [ A^(p_A,M)=0,75\frac{M}{p_A},\qquad B^(p_B,M)=0,25\frac{M}{p_B}. ]

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d) Equilíbrio inicial e utilidade máxima

Com (M=3000): [ A_0=0,75\frac{3000}{750}=0,75\cdot 4=3 ] [ B_0=0,25\frac{3000}{375}=0,25\cdot 8=2 ] Logo, o cabaz ótimo inicial é: [ (A_0,B_0)=(3,2). ]

Utilidade máxima inicial: [ U_0=5\cdot 3^{0,75}\cdot 2^{0,25}. ] Valor numérico (aprox.):

• (3^{0,75}\approx 2,2795)
• (2^{0,25}\approx 1,1892) [ U_0\approx 5\cdot 2,2795\cdot 1,1892\approx 13,55. ]

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e) Novo equilíbrio se (p_A) cair para 375 (com (p_B) e (M) constantes)

Novo preço: (p_A'=375), (p_B=375), (M=3000).

Demandas marshallianas: [ A_1=0,75\frac{3000}{375}=0,75\cdot 8=6 ] [ B_1=0,25\frac{3000}{375}=0,25\cdot 8=2 ] Novo ótimo: [ (A_1,B_1)=(6,2). ]

Nova utilidade máxima: [ U_1=5\cdot 6^{0,75}\cdot 2^{0,25}. ] Aproximando:

• (6^{0,75}\approx 3,833)
• (2^{0,25}\approx 1,1892) [ U_1\approx 5\cdot 3,833\cdot 1,1892\approx 22,79. ]

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f) Curva de procura (demanda) do bem A (graficamente)

A demanda marshalliana de A é: [ A(p_A)=0,75\frac{M}{p_A}. ] Com (M=3000): [ A(p_A)=\frac{2250}{p_A}. ]

Como desenhar: no plano ((p_A, A)), é uma hipérbole decrescente. Pontos úteis:

• Se (p_A=750), (A=2250/750=3)
• Se (p_A=375), (A=2250/375=6)

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g) Variação de utilidade e do rendimento real (Hicks e Slutsky) e bem-estar

A queda do preço de (A) aumenta o conjunto orçamental, então o bem-estar aumenta: (U_1>U_0) (de ~13,55 para ~22,79).

Agora, “rendimento real” via decomposições:

1) Método de Slutsky (compensação pelo poder de compra do cabaz inicial)

Rendimento compensado de Slutsky: [ M^S = p_A' A_0 + p_B B_0 = 375\cdot 3 + 375\cdot 2 =1125+750=1875. ] Esse é o rendimento que permitiria comprar o cabaz antigo ((3,2)) aos novos preços.

Demanda (com preços novos e renda (M^S)): [ A^S=0,75\frac{1875}{375}=0,75\cdot 5=3,75 ] [ B^S=0,25\frac{1875}{375}=0,25\cdot 5=1,25 ]

Efeito substituição (Slutsky): [ ES_S = A^S - A_0 = 3,75-3=0,75 ] Efeito rendimento (Slutsky): [ ER_S = A_1 - A^S = 6-3,75=2,25 ]

Como ambos são positivos, (A) é bem normal.

Rendimento real (Slutsky): ganho de poder de compra para manter o cabaz antigo custa menos: [ \Delta M_{real}^S = M - M^S = 3000-1875=1125. ]

2) Método de Hicks (compensação para manter a utilidade inicial)

Precisamos do gasto mínimo para atingir (U_0) aos preços novos ((p_A',p_B)=(375,375)).

Para Cobb-Douglas, a demanda hicksiana (condicional) mantém as mesmas parcelas de gasto: (p_A A =0,75E), (p_B B=0,25E), onde (E) é a despesa mínima. Logo: [ A^H=0,75\frac{E}{p_A'},\qquad B^H=0,25\frac{E}{p_B}. ] Substituindo na utilidade: [ U_0 = 5\left(0,75\frac{E}{p_A'}\right)^{0,75}\left(0,25\frac{E}{p_B}\right)^{0,25} =5\cdot (0,75^{0,75}0,25^{0,25})\cdot E\cdot (p_A'^{-0,75}p_B^{-0,25}). ] Então: [ E = \frac{U_0}{5\cdot 0,75^{0,75}0,25^{0,25}}; p_A'^{0,75}p_B^{0,25}. ] Como (p_A'=p_B=375), fica (p_A'^{0,75}p_B^{0,25}=375). Além disso, (0,75^{0,75}0,25^{0,25}\approx 0,5699). E (U_0\approx 13,55). Logo: [ E \approx \frac{13,55\cdot 375}{5\cdot 0,5699}\approx 1783{,}5. ] Assim o “rendimento real” (Hicks) ganho pela queda de preço, em termos de quanto renda poderia ser tirada mantendo (U_0): [ \Delta M_{real}^H = M - E \approx 3000-1783{,}5=1216{,}5. ]

Demanda hicksiana (para manter (U_0) com preços novos): [ A^H=0,75\frac{1783,5}{375}\approx 3,567 ] [ B^H=0,25\frac{1783,5}{375}\approx 1,189. ]

Efeito substituição (Hicks): [ ES_H = A^H - A_0 \approx 3,567-3=0,567. ] Efeito rendimento (Hicks): [ ER_H = A_1 - A^H \approx 6-3,567=2,433. ]

Conclusão de bem-estar: a queda de (p_A) eleva a utilidade máxima ((U_1>U_0)) e gera ganho de rendimento real (tanto por Hicks quanto por Slutsky). Logo Marcelito fica melhor.

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h) Efeito substituição e efeito rendimento (pelos dois métodos)

Organizando os resultados para o bem (A):

Slutsky

• (A_0=3)
• (A^S=3,75)
• (A_1=6) [ ES_S=0,75,\qquad ER_S=2,25. ]

Hicks

• (A_0=3)
• (A^H\approx 3,567)
• (A_1=6) [ ES_H\approx 0,567,\qquad ER_H\approx 2,433. ]

Ambos os métodos mostram:

• Efeito substituição positivo (A ficou relativamente mais barato).
• Efeito rendimento positivo (como (A) é normal, mais “renda real” aumenta consumo de A).

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Se você quiser, eu também posso (i) montar um esboço de gráfico para a curva de demanda de (A) e (ii) representar graficamente as decomposições de Hicks e Slutsky no plano ((A,B)) com as retas orçamentárias.