A resistência de um aquecedor usado para ferver água é um fio com condutividade térmica k, diâmetro D e comprimento L. A variação de k com a temperatura é desprezível. Obtenha a equação diferencial que descreve a variação de temperatura no fio durante uma operação em regime permanente. Fazer as hipóteses que achar necessárias, deixando-as claras no texto. Considerações: unidimensional, regime permanente e k é constante.

Vamos modelar o fio (resistência) como uma aleta com geração interna de calor.

1) Hipóteses (explicitadas)

• Unidimensional: a temperatura varia apenas ao longo do eixo do fio, $x$ (0 a $L$), isto é, $T=T(x)$.
• Regime permanente: $\partial T/\partial t=0$.
• Propriedades constantes: condutividade térmica $k$ constante (dado). Vou assumir também área da seção transversal constante $A$ (pois o diâmetro $D$ é constante).
• Geração volumétrica uniforme $\dot q'''$ (W/m³) no fio devido ao efeito Joule (hipótese típica; se a corrente e a resistividade forem uniformes, a geração por volume pode ser tratada como aproximadamente uniforme).
• Troca de calor do fio para a água (ou meio externo) por convecção na superfície lateral com coeficiente $h$ e temperatura do fluido $T_\infty$.
• Radiação desprezada (poderia ser incluída como um termo adicional, mas não foi solicitada).

Geometria:

• Para um fio cilíndrico:
  • $A = \frac{\pi D^2}{4}$ (área da seção)
  • $P = \pi D$ (perímetro molhado para convecção)

2) Balanço de energia em um elemento diferencial $dx$

Em regime permanente:

(Condução que entra) − (Condução que sai) + (Geração no volume) − (Perda por convecção na superfície) = 0

A forma diferencial clássica (1D) fica:

$$\frac{d}{dx}\left(kA\,\frac{dT}{dx}\right) + \dot q'''A - hP\,(T-T_\infty)=0.$$

Essa é a EDO pedida, já incorporando as hipóteses.

3) Simplificação com $k$ e $A$ constantes

Como $k$ é constante e $A$ também (diâmetro constante), então:

$$\frac{d}{dx}\left(kA\,\frac{dT}{dx}\right)=kA\,\frac{d^2T}{dx^2}.$$

Substituindo e dividindo por $kA$:

$$\frac{d^2T}{dx^2}+\frac{\dot q'''}{k}-\frac{hP}{kA}(T-T_\infty)=0.$$

Para o cilindro:

$$\frac{hP}{kA}=\frac{h\,\pi D}{k\,(\pi D^2/4)}=\frac{4h}{kD}.$$

Logo, também pode ser escrita como:

$$\frac{d^2T}{dx^2}+\frac{\dot q'''}{k}-\frac{4h}{kD}(T-T_\infty)=0.$$

4) Observação (caso sem convecção lateral)

Se você assumir que não há perda lateral (por exemplo, fio perfeitamente isolado lateralmente), então $h=0$ e a EDO reduz a:

$$\frac{d^2T}{dx^2}=-\frac{\dot q'''}{k}.$$

Essas são as formas diferenciais que descrevem $T(x)$ em regime permanente, 1D e com $k$ constante.