Na figura está representado em referencial ortonormado um paralelepípedo (ABCDEFG). Sabe-se que: - A face [ADGO] está contida no plano xOz e a face [ABEO] está contida no plano xOy; - C(3, 4, -1). 7.1 Indique quatro vértices do paralelepípedo com: 7.1.1 A mesma ordenada; 7.1.2 A mesma abcissa; 7.1.3 A mesma cota; 7.1.4 Cota igual a zero; 7.1.5 Abcissa igual a 3. 7.2 Indique as coordenadas dos vértices do paralelepípedo. 7.3 Indique a que faces pertence o ponto de coordenadas (3, 3, -1). 7.4 Indique a que aresta pertence o ponto de coordenadas (2, 4, 0).

Vamos interpretar o paralelepípedo (ABCDEFG) no referencial ortonormado, usando as condições:

• A face [ADGO] está no plano $xOz$ ⇒ nessa face, $y=0$.
• A face [ABEO] está no plano $xOy$ ⇒ nessa face, $z=0$.
• O é a origem (pela figura) ⇒ $O=(0,0,0)$.
• Em um paralelepípedo “alinhado” com os eixos, as três direções de arestas a partir de $O$ ficam paralelas aos eixos $x$, $y$ e $z$.

Pelos nomes das faces:

• [ABEO] é a face que contém O, A, B, E e está em $xOy$ (logo $z=0$).
• [ADGO] é a face que contém O, A, D, G e está em $xOz$ (logo $y=0$). Assim, os três “vetores” geradores a partir de $O$ são:
• $\overrightarrow{OA}$ paralelo a $x$ ⇒ $A=(a,0,0)$.
• $\overrightarrow{OB}$ paralelo a $y$ ⇒ $B=(0,b,0)$.
• $\overrightarrow{OG}$ paralelo a $z$ ⇒ $G=(0,0,c)$.

O ponto $C$ é o vértice oposto a $O$ (na base frontal na figura), portanto soma esses três deslocamentos: $C=(a,b,c).$ Dado $C=(3,4,-1)$, concluímos: $a=3,\quad b=4,\quad c=-1.$ Logo:

• $A=(3,0,0)$
• $B=(0,4,0)$
• $G=(0,0,-1)$ E todos os outros vértices vêm das somas correspondentes.

---

7.1) Indique quatro vértices com:

7.1.1) A mesma ordenada (mesmo $y$)

• Com $y=0$: $O, A, D, G$ (todos pertencem ao plano $xOz$).

7.1.2) A mesma abcissa (mesmo $x$)

• Com $x=0$: $O, B, E, G$.

7.1.3) A mesma cota (mesmo $z$)

• Com $z=0$: $O, A, B, E$ (plano $xOy$).

7.1.4) Cota igual a zero ($z=0$)

• $O, A, B, E$.

7.1.5) Abcissa igual a 3 ($x=3$)

• $A, D, C, F$.

---

7.2) Coordenadas dos vértices Usando $a=3, b=4, c=-1$:

• $O=(0,0,0)$
• $A=(3,0,0)$
• $B=(0,4,0)$
• $E=(0,4,-1)$ (acima/abaixo de B na direção z)
• $G=(0,0,-1)$ (na face $xOz$ com $y=0$)
• $D=(3,0,-1)$ (mesmo $x$ de A e z de G)
• $C=(3,4,-1)$ (dado)
• $F=(3,4,0)$ (mesmo $x,y$ de C e $z=0$)

(Observação: a nomeação exata de “topo/base” depende do desenho; aqui seguimos a consistência com as faces dadas e com $C=(3,4,-1)$.)

---

7.3) A que faces pertence o ponto $(3,3,-1)$ Verificamos quais coordenadas são constantes de alguma face do paralelepípedo:

• $z=-1$ (mesma cota de C, D, E, G) ⇒ pertence à face inferior $[D C E G]$.
• $x=3$ (mesma abcissa de A, C, D, F) ⇒ pertence à face $[A D C F]$. Não tem $y=0$ nem $y=4$, e não tem $z=0$ nem $x=0$. Portanto, pertence a duas faces: $[DCEG]$ e $[ADCF]$.

---

7.4) A que aresta pertence o ponto $(2,4,0)$ Para estar numa aresta, duas coordenadas devem estar “fixas” nos extremos do paralelepípedo. O ponto tem:

• $y=4$ (plano da face traseira)
• $z=0$ (plano $xOy$) E $x=2$ varia entre 0 e 3. A aresta com $y=4$ e $z=0$ é o segmento entre $B=(0,4,0)$ e $F=(3,4,0)$. Logo, $(2,4,0)$ pertence à aresta $[BF]$.

Alternativa correta: (não aplicável).