Considere a função f(x) definida por (ver Fórmula 1). É correto afirmar que:

A função é definida por partes:

$$f(x)=\begin{cases} 4x,&0\le x<1\\ x^{2}-7x+10,&1\le x\le6\\ -4x+28,&6<x\le7 \end{cases}$$

1) Domínio Pelas condições de cada trecho:

• $0\le x<1$
• $1\le x\le 6$
• $6<x\le 7$

A união é $[0,1)\cup[1,6]\cup(6,7]=[0,7]$. Logo, não é todo $\mathbb{R}$. Portanto, (A) é falsa.

2) Imagem (valores de $f(x)$) Vamos achar a imagem de cada trecho e unir.

Trecho 1: $f(x)=4x$, $0\le x<1$.

• Como é linear crescente, varia de $f(0)=0$ até se aproximar de $4$ quando $x\to 1^{-}$.
• Imagem: $[0,4)$.

Trecho 2: $f(x)=x^2-7x+10$, $1\le x\le 6$. É uma parábola com $a=1>0$ (abre para cima). O vértice ocorre em

$$x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{7}{2}=3{,}5\in[1,6].$$

Então o mínimo no intervalo ocorre no vértice:

$$f\left(\frac{7}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}\right)^2-7\left(\frac{7}{2}\right)+10 =\frac{49}{4}-\frac{49}{2}+10 =\frac{49}{4}-\frac{98}{4}+\frac{40}{4}=-\frac{9}{4}.$$

Nos extremos:

• $f(1)=1-7+10=4$
• $f(6)=36-42+10=4$

Logo, a imagem nesse trecho é $\left[-\frac{9}{4},4\right]$.

Trecho 3: $f(x)=-4x+28$, $6<x\le 7$. É linear decrescente:

• Em $x=7$, $f(7)=0$.
• Quando $x\to 6^{+}$, $f(x)\to -4\cdot6+28=4$, mas sem atingir 4 nesse trecho (pois $x=6$ não entra).

Imagem: $[0,4)$.

União das imagens:

$$[0,4)\ \cup\ \left[-\frac{9}{4},4\right]\ \cup\ [0,4) = \left[-\frac{9}{4},4\right].$$

Isso confirma exatamente (C).

3) Checagem rápida das demais alternativas

• (B) Bijetora: para ser bijetora precisaria ser injetora, mas por exemplo $f(1)=4$ e $f(6)=4$ com $1\ne6$ ⇒ não é injetora.
• (D) Crescente em todo domínio: no trecho 2 a parábola primeiro decresce até $x=3{,}5$ e depois cresce ⇒ não é crescente em todo o domínio.
• (E) Decrescente em todo domínio: no trecho 1, $4x$ é crescente ⇒ falso.