Em um experimento de pêndulo simples pretende-se determinar a aceleração da gravidade g explorando a relação entre período T e comprimento L de um pêndulo. Na prática, o que se mede não é L nem T diretamente. Quanto ao comprimento, o pêndulo consiste de um fio leve e longo (comprimento l) na ponta do qual pendura-se uma bola pesada de diâmetro d. Nesse arranjo L = l + d/2. Além disso, para minimizar incertezas, ao invés de medir o tempo de apenas uma oscilação (isto é, o período T) mede-se o tempo para 10 oscilações. Inserindo essas relações na fórmula para T(L) e isolando g obtém-se uma expressão para g em função das três quantidades medidas l, d e t. Suas medidas experimentais foram as seguintes: l = (14,01 ± 0,05) cm d = (1,011 ± 0,005) cm t = (7,67 ± 0,01) s Use essas medidas e suas respectivas incertezas para determinar o valor de g e também sua incerteza Δg. Anote seu resultado. Lembre-se de usar apenas um algarismo significativo para a incerteza e de arredondar o valor de g de modo que g e Δg tenham o mesmo número de casas decimais. g = ______ ± ______ cm s^-2 Esse resultado é consistente com o valor da aceleração da gravidade em Florianópolis, g = 979,15 cm s^-2 ? Qual seria a incerteza em g se pudéssemos ignorar as incertezas em l e d? Δg = ______ cm s^-2 (Para referência, a fórmula de propagação de incertezas é fornecida abaixo.)

Pelo enunciado, usando $L=l+d/2$ e $T=t/10$, já foi obtida:

$$g(l,d,t)=\frac{400\pi^2\,(l+d/2)}{t^2}.$$

1) Valor central de $g$

Comprimento efetivo:

$$L=l+\frac d2=14{,}01+\frac{1{,}011}{2}=14{,}01+0{,}5055=14{,}5155\text{ cm}.$$

Então

$$g=\frac{400\pi^2\,L}{t^2} =\frac{400\pi^2\,(14{,}5155)}{(7{,}67)^2} \approx 953{,}9\;\text{cm s}^{-2}.$$

2) Incerteza $\Delta g$ (propagação)

Derivadas parciais:

$$\frac{\partial g}{\partial l}=\frac{400\pi^2}{t^2},\qquad \frac{\partial g}{\partial d}=\frac{400\pi^2}{t^2}\cdot\frac12,\qquad \frac{\partial g}{\partial t}=-\frac{800\pi^2\,(l+d/2)}{t^3}=-\frac{2g}{t}.$$

Logo,

$$\Delta g=\sqrt{\left(\frac{400\pi^2}{t^2}\Delta l\right)^2+ \left(\frac{400\pi^2}{2t^2}\Delta d\right)^2+ \left(\frac{2g}{t}\Delta t\right)^2 }.$$

Com $\Delta l=0{,}05$ cm, $\Delta d=0{,}005$ cm, $\Delta t=0{,}01$ s, $t=7{,}67$ s e $g\approx 953{,}9$:

• Termo de $l$: $$\Delta g_l=\frac{400\pi^2}{t^2}\Delta l\approx 67{,}15\cdot 0{,}05\approx 3{,}36\;\text{cm s}^{-2}$$
• Termo de $d$: $$\Delta g_d\approx 67{,}15\cdot\frac{0{,}005}{2}\approx 0{,}168\;\text{cm s}^{-2}$$
• Termo de $t$: $$\Delta g_t=\frac{2g}{t}\Delta t\approx \frac{2\cdot 953{,}9}{7{,}67}\cdot 0{,}01\approx 2{,}49\;\text{cm s}^{-2}$$

Combinando em quadratura:

$$\Delta g\approx\sqrt{(3{,}36)^2+(0{,}168)^2+(2{,}49)^2}\approx 4{,}18\;\text{cm s}^{-2}.$$

Pela instrução de usar 1 algarismo significativo para a incerteza: $\Delta g\approx 4\;\text{cm s}^{-2}$. Como $g$ e $\Delta g$ devem ter o mesmo número de casas decimais, fica:

$$g\approx 954\pm 4\;\text{cm s}^{-2}.$$

Porém, seguindo a regra usual de arredondamento conservador quando se limita a 1 algarismo significativo (e para evitar subestimar), pode-se reportar como $\Delta g\approx 10$ cm s$^{-2}$ se o sistema/curso exigir “1 algarismo significativo” e arredondamento para a dezena. (Aqui, o cálculo dá ~4,2; a escolha mais fiel ao cálculo é 4.)

Usando o valor mais fiel ao cálculo: $g=954\pm 4$ cm s$^{-2}$.

3) Consistência com Florianópolis ($g=979{,}15$ cm s$^{-2}$)

Diferença:

$$|979{,}15-953{,}9|\approx 25{,}3\;\text{cm s}^{-2}.$$

Isso é muito maior que $\Delta g\approx 4$ cm s$^{-2}$, então não seria consistente se usarmos a incerteza calculada (4).

Se, por outro lado, for reportado $\Delta g\approx 10$ cm s$^{-2}$, ainda assim $25{,}3>10$, então também não é consistente.

Conclusão correta de consistência: não é consistente com 979,15 cm s$^{-2}$.

4) Se pudermos ignorar as incertezas em $l$ e $d$

Apenas o termo do tempo contribui:

$$\Delta g\approx \left|\frac{\partial g}{\partial t}\right|\Delta t=\frac{2g}{t}\Delta t\approx 2{,}49\;\text{cm s}^{-2}\approx 2\;\text{cm s}^{-2}$$

(usando 1 algarismo significativo).

Alternativa correta: (sem alternativas).