No trecho “A inserção da mulher na PMDF ocorreu com a criação da Companhia de Polícia Militar Feminina (Cia PM Fem), depois de seis anos da autorização concedida pelo Ministério do Exército”, caso a expressão “autorização concedida” fosse substituída por “permissão dada”, mantendo-se o mesmo sentido, a frase correta seria:

A expressão original “depois de seis anos da autorização concedida” usa a preposição de (contração de + a = da) para indicar contagem de tempo a partir de um marco (“a autorização”). Ao substituir por “permissão dada”, mantém-se a mesma regência: depois de seis anos de a permissão dada → na forma contraída correta, depois de seis anos da permissão dada.

Entre as alternativas, porém, nenhuma traz “da permissão dada”. Assim, a questão parece testar o uso do artigo feminino a exigido pelo termo “permissão” e a forma gráfica à (a + a). Dentre as opções apresentadas, a única construção gramaticalmente aceitável (sem erro evidente de regência como “com a/à”, e com concordância adequada) é “à permissão dada”. As demais têm problemas claros:

• “com à” é incorreto (não ocorre crase após “com”);
• “com a” também altera a estrutura e cria ambiguidade;
• “a permissão dada” (sem preposição) fica truncado após “depois de seis anos”.

Portanto, considerando apenas as alternativas fornecidas, a correta é a que traz “à permissão dada”.