Determine a intensidade, a direção e o sentido da força F = -(1.080 N) i - (1.440 N) j + (2.700 N) k.

A força vetorial é dada por suas componentes cartesianas: $\vec F = -1080\,\hat\imath -1440\,\hat\jmath +2700\,\hat k\;\text{(N)}.$

1) Intensidade (módulo) O módulo de um vetor em 3D é $|\vec F|=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}.$ Substituindo: $|\vec F|=\sqrt{(-1080)^2+(-1440)^2+(2700)^2}.$ Calculando os quadrados:

• $(-1080)^2=1{,}166{,}400$
• $(-1440)^2=2{,}073{,}600$
• $(2700)^2=7{,}290{,}000$

Somando: $|\vec F|=\sqrt{10{,}530{,}000}\approx 3245\,\text{N}.$

2) Direção (vetor unitário) A direção pode ser expressa pelo vetor unitário na mesma direção de $\vec F$: $\hat u_F=\frac{\vec F}{|\vec F|}.$ Então: $\hat u_F\approx \frac{-1080}{3245}\,\hat\imath+\frac{-1440}{3245}\,\hat\jmath+\frac{2700}{3245}\,\hat k$ $\hat u_F\approx -0{,}333\,\hat\imath-0{,}444\,\hat\jmath+0{,}832\,\hat k.$

3) Sentido O sentido é indicado pelos sinais das componentes:

• $F_x<0$ → aponta para o semieixo negativo de $x$ ($-\hat\imath$);
• $F_y<0$ → aponta para o semieixo negativo de $y$ ($-\hat\jmath$);
• $F_z>0$ → aponta para o semieixo positivo de $z$ ($+\hat k$).

(Opcional) Ângulos diretores $\cos\alpha=\frac{F_x}{|\vec F|},\quad \cos\beta=\frac{F_y}{|\vec F|},\quad \cos\gamma=\frac{F_z}{|\vec F|}.$ Logo:

• $\alpha\approx \arccos(-0{,}333)\approx 109{,}5^\circ$
• $\beta\approx \arccos(-0{,}444)\approx 116{,}4^\circ$
• $\gamma\approx \arccos(0{,}832)\approx 33{,}7^\circ$

Alternativa correta: (sem alternativas).