Dado o circuito ao lado, determine: a. Impedância equivalente na forma polar (Ẑ) b. Correntes na forma polar (Î, Î1 e Î2) c. Diagrama fasorial

Pelo diagrama: fonte $\hat V=110\angle0^\circ$ V alimenta em série $Z_s=10+j5\,\Omega$, e depois um paralelo de dois ramos:

• Ramo 1: $Z_1=8-j5\,\Omega$.
• Ramo 2: $Z_2=-j5+j10=j5\,\Omega$.

(a) Impedância equivalente

Equivalente do paralelo:

$$Z_p=\frac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2} =\frac{(8-j5)(j5)}{(8-j5)+j5}$$

Como $(8-j5)+j5=8$ e $(8-j5)(j5)=40+j40$,

$$Z_p=\frac{40+j40}{8}=5+j5\,\Omega.$$

Logo,

$$Z_{eq}=Z_s+Z_p=(10+j5)+(5+j5)=15+j10\,\Omega.$$

Forma polar:

$$|Z_{eq}|=\sqrt{15^2+10^2}=18{,}03\,\Omega,\qquad \angle Z_{eq}=\tan^{-1}\left(\frac{10}{15}\right)=33{,}69^\circ.$$

Portanto, $\hat Z_{eq}=18{,}03\angle33{,}69^\circ\,\Omega$.

Observação: o enunciado pede Ẑ (forma polar), mas também é útil manter $Z_{eq}=15+j10$.

(b) Correntes $\hat I$, $\hat I_1$, $\hat I_2$ (forma polar)

Corrente total (série):

$$\hat I=\frac{\hat V}{Z_{eq}}= \frac{110\angle0^\circ}{18{,}03\angle33{,}69^\circ} =6{,}10\angle(-33{,}69^\circ)\,\text{A}.$$

Tensão no nó do paralelo (sobre $Z_p$):

$$\hat V_p=\hat I\,Z_p.$$

Com $Z_p=5+j5=7{,}07\angle45^\circ$,

$$\hat V_p=6{,}10\angle(-33{,}69^\circ)\cdot 7{,}07\angle45^\circ =43{,}13\angle(11{,}31^\circ)\,\text{V}.$$

Correntes de ramo:

$$\hat I_1=\frac{\hat V_p}{Z_1}.$$

Para $Z_1=8-j5$,

$$|Z_1|=\sqrt{8^2+(-5)^2}=9{,}43,\quad \angle Z_1=\tan^{-1}(-5/8)=-32{,}0^\circ.$$

Então

$$\hat I_1=\frac{43{,}13\angle11{,}31^\circ}{9{,}43\angle(-32{,}0^\circ)} =4{,}57\angle(43{,}31^\circ)\,\text{A}.$$

E

$$\hat I_2=\frac{\hat V_p}{Z_2}= \frac{43{,}13\angle11{,}31^\circ}{5\angle90^\circ} =8{,}63\angle(-78{,}69^\circ)\,\text{A}.$$

(Conferência: em fasores, deve valer $\hat I=\hat I_1+\hat I_2$; pequenas diferenças podem aparecer por arredondamento.)

(c) Diagrama fasorial (como traçar)

1. Tome $\hat V$ como referência em $0^\circ$.
2. Desenhe $\hat I$ atrasando de $33{,}69^\circ$.
3. $\hat V_p$ tem ângulo $11{,}31^\circ$ (pois $\hat V_p=\hat I\,Z_p$ e $\angle Z_p=45^\circ$).
4. $\hat I_1$ faz ângulo $43{,}31^\circ$ e $\hat I_2$ faz ângulo $-78{,}69^\circ$.
5. Some vetorialmente $\hat I_1$ e $\hat I_2$ para obter $\hat I$.

Alternativa correta: (sem alternativas).