Duas cargas puntiformes livres +q e +4q estão a uma distância L uma da outra. Uma terceira carga é colocada de tal modo que todo o sistema fica em equilíbrio. (a) Determine a posição, o módulo e o sinal da terceira carga; (b) Mostre que o equilíbrio do sistema é instável.

(a) Para que as duas cargas positivas se equilibrem, a terceira carga deve ser negativa e ficar entre elas, no ponto onde as forças sobre ela se cancelam. Colocando +q em $x=0$ e +4q em $x=L$, seja a terceira carga $Q$ em $x=a$ (com $0<a<L$).

Condição de equilíbrio para $Q$ (força resultante nula sobre $Q$):

a força de +q sobre $Q$ tem módulo $k\,|qQ|/a^2$ e aponta para a esquerda (atração); a de +4q tem módulo $k\,|4qQ|/(L-a)^2$ e aponta para a direita. Para cancelar: [ \frac{k,q|Q|}{a^2}=\frac{k,4q|Q|}{(L-a)^2} \Rightarrow \frac{1}{a^2}=\frac{4}{(L-a)^2} \Rightarrow L-a=2a \Rightarrow a=\frac{L}{3}. ] Logo, a terceira carga deve ficar a uma distância $L/3$ de +q (e $2L/3$ de +4q).

Condição de equilíbrio para +q: a repulsão de +4q (para a esquerda) deve ser equilibrada pela atração de $Q$ (para a direita), então $Q$ precisa ser negativa.

Módulos:

• Força de +4q sobre +q: [ F_{4q\to q}=\frac{k,(q)(4q)}{L^2}=\frac{4kq^2}{L^2}. ]
• Força de $Q$ (em $L/3$) sobre +q: [ F_{Q\to q}=\frac{k,q|Q|}{(L/3)^2}=\frac{k,q|Q|}{L^2/9}=\frac{9kq|Q|}{L^2}. ] Equilíbrio em +q: $F_{Q\to q}=F_{4q\to q}$ [ \frac{9kq|Q|}{L^2}=\frac{4kq^2}{L^2}\Rightarrow 9|Q|=4q\Rightarrow |Q|=\frac{4}{9}q. ] Como o sinal é negativo: [ Q=-\frac{4}{9}q. ] Resposta do item (a):
• posição: entre as cargas, a $L/3$ de +q (e $2L/3$ de +4q);
• sinal: negativo;
• módulo: $\dfrac{4}{9}q$ (ou seja, $Q=-\dfrac{4}{9}q$).

(b) Instabilidade do equilíbrio: considere uma pequena perturbação na posição de $Q$, levando-a de $a=L/3$ para $a+\delta$, com $|\delta|\ll L$.

A força resultante sobre $Q$ ao longo do eixo é (tomando direita como positiva e lembrando que $Q<0$): [ F(a)=kQq\left(\frac{1}{a^2}-\frac{4}{(L-a)^2}\right). ] No equilíbrio $a=L/3$, o termo entre parênteses é zero.

Analise o sinal para uma pequena variação:

• Se $\delta>0$ (Q um pouco mais perto de +4q), então $a$ aumenta e $L-a$ diminui. Assim,

  • $\frac{1}{a^2}$ diminui;
  • $\frac{4}{(L-a)^2}$ aumenta;
  • logo $\left(\frac{1}{a^2}-\frac{4}{(L-a)^2}\right)$ fica negativo. Como $Q<0$, temos $kQq<0$, então produto de (negativo)·(negativo) dá positivo: $F>0$, isto é, a força empurra para a direita, na mesma direção do deslocamento $\delta>0$.

• Se $\delta<0$ (Q um pouco mais perto de +q), então $a$ diminui e $L-a$ aumenta. Assim,

  • $\frac{1}{a^2}$ aumenta;
  • $\frac{4}{(L-a)^2}$ diminui;
  • logo o parênteses fica positivo. Como $kQq<0$, resulta $F<0$, isto é, a força aponta para a esquerda, de novo na mesma direção do deslocamento ($\delta<0$).

Em ambos os casos, a força resultante não é restauradora; ela aumenta a perturbação, afastando o sistema do ponto de equilíbrio. Portanto, o equilíbrio é instável.