Um gerente quer criar um modelo matemático preditivo para estimar as Vendas da sua loja (Y, em milhares de reais) com base na Quantidade de Vendedores trabalhando (X). O departamento de dados extraiu uma amostra de n = 5 dias e já adiantou os somatórios para facilitar o seu trabalho na prova: a) Utilizando as fórmulas de apoio no final da prova, calcule o coeficiente angular (b) e o coeficiente linear (a) da reta de regressão e monte a equação final (Ŷ = a + bX). b) Qual será a Venda estimada (Ŷ) se a loja operar amanhã com 6 vendedores (X = 6)? c) Explique, de forma simples e direta, o que o valor encontrado para o coeficiente angular (b) significa na prática para a receita da loja.

Vamos resolver item por item usando os somatórios fornecidos.

a) Coeficientes da reta de regressão ($\hat Y=a+bX$)

Em regressão linear simples:

$\displaystyle b=\frac{n\sum XY-\sum X\sum Y}{n\sum X^{2}-(\sum X)^{2}}$

Com $n=5$, $\sum X=20$, $\sum Y=50$, $\sum X^2=90$, $\sum XY=230$:

• Numerador: $5\cdot 230-20\cdot 50=1150-1000=150$
• Denominador: $5\cdot 90-20^2=450-400=50$

Então:

$\displaystyle b=\frac{150}{50}=3$

Agora calculamos as médias:

$\bar X=\frac{\sum X}{n}=\frac{20}{5}=4,\qquad \bar Y=\frac{\sum Y}{n}=\frac{50}{5}=10$

E:

$\displaystyle a=\bar Y-b\bar X=10-3\cdot 4=10-12=-2$

Logo, a reta de regressão é:

$\boxed{\hat Y=-2+3X}$

b) Venda estimada para $X=6$

Substituindo $X=6$ na equação:

$\hat Y=-2+3\cdot 6=-2+18=16$

Como $Y$ está em milhares de reais, isso corresponde a R$ 16 mil.

c) Significado prático de $b$

O coeficiente angular é $b=3$. Isso indica a variação média esperada de $Y$ quando $X$ aumenta em 1 unidade.

Assim, ao aumentar em 1 o número de vendedores, o modelo estima que as vendas aumentam em média 3 (mil reais), ou seja, aproximadamente R$ 3.000 a mais na receita esperada.

Alternativa correta: (não se aplica).