Simplificando a expressão \frac{a^4 + a^3 b - a b^3 - b^4}{a^2 - b^2} para a \neq b, obtém-se:

Queremos simplificar

$$\frac{a^4 + a^3b - ab^3 - b^4}{a^2-b^2},\quad a\ne b.$$

1. Fatorando o numerador por agrupamento:

$$a^4 + a^3b - ab^3 - b^4 = (a^4 + a^3b) - (ab^3 + b^4).$$

a) Colocando fator comum em cada grupo:

$$(a^4 + a^3b)=a^3(a+b),\quad (ab^3 + b^4)=b^3(a+b).$$

b) Então:

$$a^4 + a^3b - ab^3 - b^4 = a^3(a+b) - b^3(a+b)=(a+b)(a^3-b^3).$$

2. Usando a fatoração da diferença de cubos:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Logo, o numerador vira:

$$(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

3. Fatorando o denominador (diferença de quadrados):

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

4. Cancelando os fatores comuns $(a-b)$ e $(a+b)$ (isso é válido pois $a\ne b$ e, além disso, se $a=-b$ o denominador seria zero e a fração nem estaria definida):

$$\frac{(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a-b)(a+b)}=a^2+ab+b^2.$$