Complete a tabela verdade a seguir e analise as assertivas. I- As proposições compostas: P ˄ Q, (P ˄ Q) → P e ¬[(P ˄ Q) → P] são consideradas intermediárias na construção da proposição composta principal. II- O valor da proposição composta ¬[(P ˄ Q) → P] só será verdadeiro quando duas das proposições simples forem verdadeiras. III- O valor da proposição P ˄ Q será verdadeiro apenas quando as proposições simples P e Q forem verdadeiras. IV- O valor da proposição composta principal será sempre verdadeiro, pois se trata de uma tautologia. É correto o que se afirma apenas em:
Questão
Complete a tabela verdade a seguir e analise as assertivas.
I- As proposições compostas: P ˄ Q, (P ˄ Q) → P e ¬[(P ˄ Q) → P] são consideradas intermediárias na construção da proposição composta principal. II- O valor da proposição composta ¬[(P ˄ Q) → P] só será verdadeiro quando duas das proposições simples forem verdadeiras. III- O valor da proposição P ˄ Q será verdadeiro apenas quando as proposições simples P e Q forem verdadeiras. IV- O valor da proposição composta principal será sempre verdadeiro, pois se trata de uma tautologia.
É correto o que se afirma apenas em:
Alternativas
A) I E III.
B) I E II.
C) I E IV.
D) II E III.
E) II E IV.
Explicação
Vamos identificar a proposição composta principal e, a partir dela, completar a análise.
A expressão central citada nas assertivas é: [ \neg[(P \wedge Q) \to P] ] Logo, a proposição principal é (\neg[(P \wedge Q) \to P]), e as intermediárias naturais para montá-la são (P\wedge Q) e ((P\wedge Q)\to P).
1) Tabela-verdade (com colunas intermediárias)
Vamos usar que:
- (P\wedge Q) é verdadeira somente quando P e Q são verdadeiras.
- (A\to B) só é falsa quando A é verdadeira e B é falsa.
| P | Q | (P\wedge Q) | ((P\wedge Q)\to P) | (\neg[(P\wedge Q)\to P]) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | F |
| V | F | F | V | F |
| F | V | F | V | F |
| F | F | F | V | F |
Observe que ((P\wedge Q)\to P) deu V em todas as linhas, portanto é uma tautologia; logo sua negação (\neg[(P\wedge Q)\to P]) é sempre falsa (contradição).
2) Análise das assertivas
I
“As proposições compostas (P\wedge Q), ((P\wedge Q)\to P) e (\neg[(P\wedge Q)\to P]) são intermediárias na construção da proposição composta principal.”
A principal é (\neg[(P\wedge Q)\to P]). Para construí-la, de fato passamos por (P\wedge Q) e depois por ((P\wedge Q)\to P), chegando à negação. Correta.
II
“O valor de (\neg[(P\wedge Q)\to P]) só será verdadeiro quando duas das proposições simples forem verdadeiras.”
Pela tabela, (\neg[(P\wedge Q)\to P]) é F em todas as linhas. Não existe caso em que ela seja verdadeira, nem mesmo quando P e Q são ambas verdadeiras. Falsa.
III
“O valor de (P\wedge Q) será verdadeiro apenas quando as proposições simples P e Q forem verdadeiras.”
Isso é exatamente a definição de conjunção. Pela tabela, só dá V no caso (V,V). Correta.
IV
“O valor da proposição composta principal será sempre verdadeiro, pois se trata de uma tautologia.”
A principal é (\neg[(P\wedge Q)\to P]), e ela é sempre falsa (contradição), não tautologia. Falsa.
Conclui-se que são verdadeiras apenas I e III.
Alternativa correta: (A).