Fabrício, fã da área de exatas, resolveu calcular o coeficiente do momento de assimetria dos seguintes valores: 3; 3; 8; 15; 1. Depois que ele calculou, convidou 3 amigos e disse a cada um uma afirmativa, a fim de que eles descobrissem se ele estava falando a verdade ou não. As afirmativas foram: I. O valor que encontrei está entre -0,5 < x < 0,5. II. A distribuição de frequências é assimétrica positiva. III. O cubo do desvio padrão foi, aproximadamente, 130. Fabrício contou a verdade na(s) afirmativa(s):

Dados: $3,3,8,15,1$ (n=5).

1) Média e desvios Média: $\bar x=\frac{3+3+8+15+1}{5}=\frac{30}{5}=6$. Desvios $d_i=x_i-\bar x$:

• para 3: $-3$ (duas vezes)
• para 8: $2$
• para 15: $9$
• para 1: $-5$

2) Momento central de 3ª ordem e coeficiente de assimetria (Fisher) Momento central de 3ª ordem (populacional):

$$\mu_3=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar x)^3$$

Cálculo de $\sum d_i^3$:

• $(-3)^3=-27$ (duas vezes) $\Rightarrow -54$
• $(2)^3=8$
• $(9)^3=729$
• $(-5)^3=-125$ Somando: $-54+8+729-125=558$. Logo,

$$\mu_3=\frac{558}{5}=111{,}6.$$

3) Desvio padrão e seu cubo Variância (populacional):

$$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum d_i^2$$

$\sum d_i^2$:

• $(-3)^2=9$ (duas vezes) $\Rightarrow 18$
• $2^2=4$
• $9^2=81$
• $(-5)^2=25$ Total: $18+4+81+25=128$. Então $\sigma^2=\frac{128}{5}=25{,}6$ e $\sigma=\sqrt{25{,}6}\approx 5{,}06$. Cubo do desvio padrão:

$$\sigma^3 \approx 5{,}06^3 \approx 129{,}5 \approx 130.$$

Assim, a afirmativa III é verdadeira se estivermos usando $\sigma$ (populacional). Porém, o passo seguinte mostra que a I fica falsa, e a questão pede quais afirmativas ele contou a verdade — pelo critério mais usual em exercícios (coeficiente de assimetria amostral com $s$), a III não se sustenta.

4) Coeficiente de assimetria Coeficiente de assimetria (momento):

$$\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$$

Com os valores acima (populacionais):

$$\gamma_1\approx \frac{111{,}6}{129{,}5}\approx 0{,}86.$$

Portanto, não está em $-0{,}5<x<0{,}5$ ⇒ a afirmativa I é falsa. Além disso, como $\gamma_1>0$, a distribuição é assimétrica positiva ⇒ a afirmativa II é verdadeira.

5) Checagem da III no padrão amostral (o mais comum em provas) Se o desvio padrão for amostral: $s^2=\frac{\sum d_i^2}{n-1}=\frac{128}{4}=32$, então $s\approx 5{,}657$ e

$$s^3\approx 5{,}657^3\approx 181,$$

que não é aproximadamente 130 ⇒ a afirmativa III seria falsa.

Conclusão: apenas a afirmativa II é garantidamente verdadeira (e I é falsa; III depende da convenção, mas em geral usa-se $s$).